Цель предлагаемого проекта – развитие новых и оригинальных методов спектральной теории и
асимптотического анализа для исследования периодических и почти периодических операторов.
Наши усилия будут направлены на изучение (I) задач теории усреднения (гомогенизации), (II)
спектральных свойств дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами, (III)
свойств разностных операторов с почти периодическими коэффициентами.
I. Теория усреднения
Теория усреднения изучает свойства решений дифференциальных уравнений с быстро
осциллирующими коэффициентами в пределе малого периода. В операторных терминах речь идет
о поведении функций: резольвенты, операторной экспоненты, операторного косинуса – от
эллиптического оператора с быстро осциллирующими (периодическими либо локально
периодическими) коэффициентами. В пределе малого периода функция от такого оператора
сходится к соответствующей функции от эффективного оператора. Нашей целью является
получение «операторных оценок» погрешности для целого ряда задач гомогенизации. В том числе
планируется изучить усреднение операторов с чисто периодическими коэффициентами:
эллиптических операторов высокого порядка во всем d-мерном пространстве и в ограниченной
области, оператора Максвелла в ограниченной области, а также нестационарной системы
Максвелла в трехмерном пространстве.
II. Спектральная теория периодических дифференциальных операторов
Хорошо известно, что спектр самосопряженного эллиптического дифференциального оператора
с периодическими коэффициентами, который действует в L_2(R^d), является объединением
счетного числа отрезков – спектральных зон (зонная структура спектра). Между зонами могут
быть лакуны; зоны могут вырождаться в точки – тогда появляются бесконечнократные
собственные значения. Возникают два естественных вопроса: 1) могут ли быть вырожденные
зоны или спектр абсолютно непрерывен? 2) конечно или бесконечно количество лакун в спектре?
Нашей целью является изучение этих вопросов для оператора Максвелла с периодическими
коэффициентами.
III. Спектральная теория почти периодических разностных операторов
Считается, что спектры широкого класса почти периодических операторов являются
канторовыми множествами (замкнутыми нигде не плотными множествами без изолированных
точек). Одной из трудных и важных задач является получение конструктивного описания спектра
почти периодического оператора, аналогичного описанию классического канторова множества. По
выражению Барри Саймона, важнейшей лабораторией в теории почти периодических операторов
является оператор почти-Матье. Это одномерный разностный оператор Шрёдингера с
потенциалом v(n)=α cos(2π(ω n+θ)), где α, ω и θ – постоянные, а n – целочисленная переменная.
Он является моделью электрона в кристалле, помещенном в постоянное магнитное поле. Недавно
после многолетних усилий известных математиков было доказано, что для иррациональных
значений частоты ω спектр такого оператора канторов.