В ходе выполнения проекта исследовались почти-периодические задачи и задачи, связанные с периодическими. Опишем основные результаты.

1. Почти-периодические операторы.
(a) Мэрилендская модель. Основная цель исследования -- изучение иерархического самоподобного поведения на бесконечности решений разностных почти периодических уравнений Шредингера. После пионерской работы С.Житомирской и В.Луи, посвященной исследованию решений уравнения почти-Матье в режиме локализации (когда типичный спектр является точечным), мы сконцентрировались на исследовании популярной модели -- мэрилендского уравнения -- в дополнительном режиме, когда типичный спектр является сингулярно непрерывным. Исследование проводилось в квазиклассическом приближении (строго). Нам удалось конструктивно объяснить возникновение иерархической структуры для широкого класса решений. Получено как качественное, так и асимптотическое описание. Это -- первый подобный результат в режиме, дополнительном к режиму локализации.
(б) Разностные уравнения с мероморфными коэффициентами. Чтобы обобщить наши результаты о поведении решений на более широкий класс уравнений, описаны матрицы монодромии для семейства разностных уравнений на оси с мероморфными периодическими коэффициентами.
(в) Оператор Дирака. Исследовалась геометрия спектра для одномерного разностного оператора Дирака на оси с почти периодическими коэффициентами в квазиклассическом режиме. Показано, что на спектральной оси выделяется несколько зон с разным асимптотическим устройством спектра. В частности, при нулевой массе выделяется зона, где возникают новые эффекты.
2. Разностные уравнения на комплексной плоскости. Для решения задачи об иерархическом поведении решений нам пришлось исследовать квазиклассические асимптотики решений разностных уравнений на комплексной плоскости. Было решено две задачи. Впервые получены равномерные асимптотические формулы для
(а) аналитических решений в окрестности (не обязательно малой) точки поворота и
(б) для мероморфных решений в окрестности (не обязательно малой) простого полюса.
Такие задачи возникают и во многих областях, не связанных с почти-периодическими операторами.
3. Частично периодические операторы. Задача состоит в исследовании многомерного оператора Шредингера с потенциалом, периодическим по части координат и убывающим по остальным координатам (частично периодический потенциал). Получено две группы результатов.
(a) Оператор Шредингера в цилиндре. Сначала исследовался оператор Шредингера в цилиндре, представляющем собой произведение d-мерной области (основание) на конечномерное пространство (ось цилиндра). Предполагалось убывание потенциала вдоль оси цилиндра. На границе основания допускались различные граничные условия и, в частности, условно периодические (в случае, когда основание цилиндра - параллелепипед). Получены все основные результаты теории рассеяния.
(б) Частично периодические операторы Шредингера и Максвелла. С помощью результатов для оператора в цилиндре для широкого класса операторов Шредингера и Максвелла с частично-периодическими коэффициентами было доказано отсутствие собственных значений.
4. Экспоненциальные суммы из теории резонансов Штарка-Ваннье. Ранее Клопп и Федотов исследовали резонансы одномерного оператора Штарка-Ваннье -- оператора Шредингера, потенциал которого -- сумма периодического и линейного слагаемых. Этот оператор -- модель для исследования блоховского электрона в постоянном электрическом поле. Было показано, что резонансы асимптотически описываются в терминах кубических экспоненциальных сумм, известных в теории чисел. При подходящем соотношении параметров возникают конечные (полные) кубические суммы. Компьютерные вычисления показали, что эти суммы обладают рядом свойств важных для описания распределения резонансов. Это касается, в частности, поведения нулей таких сумм как функций целочисленного параметра. В рамках проекта Филонов строго доказал предсказанные свойства и принципиально усилил известные оценки снизу для числа нулей.