4.1. Научная проблема, на решение которой направлен проект
Проект направлен на решение фундаментальной проблемы математически корректного теоретического описания
процессов упругого рассеяния, рассеяния с возбуждением и рассеяния с перестройкой в квантовых системах трех
частиц c кулоновским взаимодействием и разработке на этой базе эффективных и высокопроизводительных
вычислительных процедур для решения конкретных задач теории столкновений в системах содержащих электроны,
позитроны, мюоны, нуклоны и антипротоны. Основными особенностями процессов в таких кулоновских системах трех
частиц являются многоканальность и дальнодействующий характер кулоновского взаимодействия. Для решения задачи
рассеяния в этих условия требуются как построение эффективных уравнений, учитывающих многоканальность
процессов столкновений, так и знание точных асимптотических представлений для волновых функций и их компонент,
отражающих дальнодействующий характер кулоновских потенциалов взаимодействия между частицами и играющих
роль асимптотических граничных условий для уравнений теории рассеяния. Многоканальность процессов рассеяния и
дальнодействующий характер взаимодействий в кулоновских системах ведут к чрезвычайной сложности этих
асимптотических граничных условий. При этом помимо кулоновского взаимодействия между мишенью и налетающей
частицей возникает также и ряд дальнодействующих взаимодействий, главным из которых является индуцированное
дипольное взаимодействие в бинарных каналах. Эти взаимодействия ответственны за появление многочисленных
особенностей в рассеянии трех частиц таких, как фешбаховские подпороговые резонансы, рамзауровские минимумы в
сечениях, а также надпороговые осцилляторные аномалии в сечениях бинарных процессов. Эти аномалии,
теоретически предсказанные Гайлитисом и Дамбургом, как оказалось, чрезвычайно трудно обнаружить при расчетах
бинарных сечений в таких системах как электрон (позитрон) -атом водорода, анти протон – позитроний и других.
Ключевым фактором здесь является необходимость детального учета дальнодействующих кулоновского и дипольного
взаимодействий в асимптотических граничных условиях. Аналитическое исследование этого вклада в координатные
асимптотики волновых функций и их компонент для трехчастичных систем, содержащих заряженные частицы,
является первоочередной задачей для решения в проекте. Знание точной асимптотики даст возможность не только
поставить задачу рассеяния, но и позволит корректно определить амплитуды бинарных реакций, а в практическом
плане даст возможность их корректного извлечения из волновой функции Разработка математически корректной
формулировки для решения данных задач и создание на ее основе эффективных и надежных вычислительных
алгоритмов представляет собой фундаментальную научную проблему, решаемую в рамках данного проекта.
4.2. Научная значимость и актуальность решения обозначенной проблемы
Квантовая задача трех тел занимает особое место в квантовой теории, так как относительно умеренное число степеней
свободы делает возможным ее решение без дополнительных плохо контролируемых приближений. Таким образом, в
рамках выбранной физической модели, задача решается математически точно. Однако, даже в этом случае сложность
расчетов оказывается очень высокой, что требует разработки новых, эффективных теоретических подходов. В
особенности это касается кулоновской задачи трех тел, так как
подавляющее большинство актуальных задач возникает в системах с заряженными частицами. Разработанные методы
и подходы могут использоваться в качестве моделей при рассмотрении более сложных систем, точное изучение
которых не представляется возможным. В проекте поставлены задачи по разработке методов для прецизионного
решения задачи рассеяния. Исследование координатных асимптотик волновых функций трехчастичных систем,
содержащих заряженные частицы, играет принципиальную роль для построения таких методов. Точная асимптотика
волновой функции необходима для корректной постановки задачи рассеяния и для безмодельного определения
амплитуд бинарных реакций и амплитуд ионизации. С практической точки зрения, знание таких асимптотик открывает
путь для разработки безмодельных истинно трех частичных методов численного решения задачи рассеяния в системе
трех заряженных частиц. Кроме того, оно позволяет верифицировать и критически оценивать область применимости
приближенных подходов и моделей, используемых для описания рассеяния в системах с тремя и большим
количеством частиц.
Научная значимость и актуальность исследования системы антипротон, позитрон, электрон связана с экспериментами
GBAR и AEgIS, которые проводятся в CERN. Основной целью эксперимента GBAR является исследование гравитации
антиматерии. Для этого предполагается измерить свободное падение атомов антиводорода в гравитационном поле
Земли. Ультрахолодные атомы антиводорода предполагается получить в несколько этапов, одним из которых является
производство антиводорода при рассеянии антипротонов на атомах позитрония при достаточно низких (ниже порога
ионизации) энергиях системы.
Для увеличения выхода этой реакции требуется знание с хорошей точностью сечений рассеяния процессов создания
антиводорода в реакциях антипротон-позитроний -> электрон-антиводород, причем по условиям эксперимента
состояния атомов являются высоковозбужденными. Важным здесь является поиск резонансов и других особенностей
сечений рассеяния - осцилляций Гайлитиса-Дамбурга, которые могли бы увеличить выход реакции. Надежные данные
об этих особенностях сечений отсутствуют в имеющейся литературе. В этом смысле их расчет в рамках данного
проекта будет иметь несомненную научную значимость и актуальность.
Полученные в проекте результаты внесут новый существенный вклад в теорию систем нескольких квантовых частиц.
Несмотря на существенный прогресс в решении квантовой раздачи рассеяния для трех тел, кулоновская задача
рассеяния все еще остается в статусе не имеющей надежного способа решения – как теоретического, так и
численного. По этому развитие теории трехчастичного рассеяния для систем с кулоновским взаимодействием на
основе строгих безмодельных методов данного проекта будет новым значительным вкладом в квантовую теорию
систем нескольких частиц. Кроме того, это создаст задел для разработки более сложных методов для систем большего
числа частиц. Эффективно работающие параллельные программы, реализованные в ходе выполнения проекта, могут
оказаться полезными для исследователей в разных областях физики.
4.3. Конкретная задача (задачи) в рамках проблемы, на решение которой направлен проект, ее масштаб и
комплексность
Первая задача имеет фундаментальный характер и заключается в разработке методов и алгоритмов для прецизионного
решения квантовой задачи трех тел с кулоновским взаимодействием: постановка, решение граничных задач для
уравнений Фаддеева (УФ) и Фаддеева-Меркурьева (УФМ), а также извлечение амплитуд рассеяния из полученных
решений. В рамках данной задачи будет решена проблема детального описания асимптотического вклада кулоновских
и дипольных взаимодействий в асимптотическое поведение компонент волновых функций, что позволит получить
более точные граничные условия для решения уравнений (УФ, УФМ). Также в рамках этой задачи будет дано развитие
формализма представления полного орбитального момента для уравнений Фаддеева и Фаддеева-Меркурьева, который
будет использоваться для редукции изначально шестимерных уравнений в частных производных к системе
трехмерных уравнений. В том числе, будут получены выражения для амплитуд и сечений рассеяния в этом
представлении. Эти результаты послужат базой для создания эффективных методов решения полученных уравнений и
их реализации в виде программы. Для этого понадобится доработать имеющуюся у авторов оригинальную библиотеку
классов, ориентированную на создание программ для квантово-механических расчетов.
Вторая задача проекта – проведение расчетов рассеяния и реакций в кулоновских трехчастичных системах,
содержащих электроны, позитроны, мюоны, нуклоны. Здесь особое внимание будет уделено реакции образования
атома антиводорода при столкновении антипротонов с атомом позитрония. Исследование реакций в мюонных системах
типа \mu^+ \mu^- p\pm(d,t) важно тем, что позволит оценить влияние массовых соотношений участвующих частиц на
особенности сечений процессов рассеяния и реакций в кулоновских системах трёх частиц.
4.4. Научная новизна исследований, обоснование того, что проект направлен на развитие новой для научного
коллектива тематики*********, обоснование достижимости решения поставленной задачи (задач) и возможности
получения предполагаемых результатов
*********В том числе, на определение объекта и предмета исследования, составление плана исследования, выбор методов исследования.
Научная новизна проекта состоит в создании полностью безмодельного подхода к решению задачи трех тел с
кулоновскими взаимодействиями. Причина сложности решения этой задачи заключается в чрезвычайной сложности
асимптотических граничных условий, необходимых для постановки граничной задачи для дифференциальных или
интегро-дифференциальных уравнений. Разработка методов решения задачи рассеяния в системах нескольких
заряженных частиц с целью совершения практических расчетов стала производиться относительно недавно, несмотря
на наличие достаточно хорошо разработанных аналитических методов. В этом смысле создание эффективной
комбинации аналитического и вычислительного подходов к решению уравнений ФМ будет обладать научной новизной.
Высокоточные и надежные расчеты, с хорошим разрешением по энергии, реакций в системах сталкивающихся
заряженных частиц, в том числе системы антипротон, электрон, позитрон, до сих пор не произведены и не
опубликованы в научной литературе, несмотря на практическую полезность таких результатов для нужд эксперимента и
интерес к исследованию таких явлений, как резонансы и осцилляции Гаилитиса-Дамбурга. Это также обосновывает
научную новизну планируемых результатов исследования.
Достижимость решения поставленных задач обосновывается хорошо развитой к настоящему моменту техникой работы
со специальными функциями (для вывода формул представления полного момента количества движения), большому
опыту построения асимптотических решений для уравнений теории рассеяния, существующими мощными методами
численного (для создания эффективных методов решения уравнений ФМ), уже разработанными методами и
программами для изучения связанных состояний, резонансов и состояний рассеяния, опыт работы с
суперкомпьютерами ресурсного центра "Вычислительный центр СПбГУ".
4.5. Современное состояние исследований по данной проблеме, основные направления исследований в мировой
науке и научные конкуренты
Первые расчеты рассеяния в системах нескольких частиц проводятся практически с самого начала использования
компьютеров в физике. С учетом вычислительных ресурсов того времени в этих расчетах использовались очень
грубые приближения. Рост возможностей компьютеров и одновременно создание эффективных аналитических и
вычислительных методов привели к тому, что в 1990-х годах был проведен ряд безмодельных расчетов рассеяния в
некоторых трехчастичных кулоновских системах [A.A. Kvitsinsky, A. Wu, C.-Y. Hu. J. Phys. B, 28, 275 (1995); J. Mitroy, K.
Ratnavelu. J. Phys. B, 28, 287 (1995); A. Igarashi, N. Toshima. Phys. Rev. A, 50(1), 232 (1994) и др.]. Однако эти расчеты все
же ограничивались малыми энергиями, при которых невозможны реакции с участием высоковозбужденных атомов и
несколькими первыми полными моментами количества движения системы. Полученные сечения рассеяния были мало
детализированы и лишь приближенно передавали особенности поведения сечений (например, в сечениях рассеяния
не проявлялись резонансы).
В настоящий момент существует несколько научных групп, проводящих расчеты рассеяния в системах нескольких
частиц с кулоновским взаимодействием. Большое количество результатов по рассеянию позитронов на легких атомных
мишенях публикует австралийская группа [A.S. Kadyrov, I. Bray. Phys. Rev. A, 66, 012710 (2002); C.M. Rawlins, A.S. Kadyrov,
I. Bray. Phys. Rev. A, 97, 012707 (2018); Kadyrov A.S. at al. Nature Communications, 8, 1544 (2017) и др.]. В своих расчетах
они используют метод сильной связи каналов, в котором базис для разложения решения состоит из всех возможных
атомных двухчастичных состояний системы и так называемых псевдосостояний (для представления решения выше
порога развала системы). В основном в работах этой группы представлены сечения рассеяния при достаточно высоких
энергиях (выше порога развала системы), однако имеются и расчеты реакций при низких энергиях. Расчеты с
использованием уравнений Фаддеева для незаряженных частиц и ФМ для заряженных частиц дают наиболее
надежные результаты для задач с реакциями перестройки. Такие расчеты представлены в работах C.-Y. Hu [C.-Y. Hu. J.
Phys. B, 32, 3077 (1999); C.-Y. Hu. Atoms, 4(2), 16 (2016) и др.] с соавторами и R. Lazauskas с соавторами [R. Lazauskas. J.
Phys. B, 50, 055201 (2017); M. Valdes et al. Phys. Rev. A, 97, 012709 (2018) и др.]. Для разложения решений эти авторы
используют бисферические гармоники. R. Lazauskas дополнительно использует метод комплексных вращений для
упрощения асимптотических граничных условий задачи. Проводятся как высокоэнергетические расчеты (выше порога
развала), так и расчеты реакций при низких энергиях. Расчеты рассеяния в системе антипротон, электрон, позитрон с
упором на реакции производства антиводорода проводятся в основном этими группами.
Перечислим наилучшие полученные к данному моменту результаты. В работах [A.S. Kadyrov et al. Phys. Rev. Lett., 114,
183201 (2015); C.M. Rawlins et al. PRA, 93, 012709 (2016)] методом сильной связи каналов проведены расчеты сечений
реакций \bar{p} + Ps(n, l) -> e^- + \bar{H}(n' ,l') в достаточно широком диапазоне энергий. Получены сечения
перестройки атомных состояний вплоть до Ps(3d) в атомные состояния вплоть до \bar{H}(4f). Однако представленные
результаты недостаточно детализированы (используется большой шаг по энергии при расчетах энергетической
зависимости сечений рассеяния, не найдены особенности сечений). В работе [M. Valdes et al. Phys. Rev. A, 97, 012709
(2018)] на основе решения уравнений ФМ получены сечения реакций образования антиводорода в диапазоне энергий,
в котором возможно образование антиводорода в состояниях вплоть до второго возбужденного. Представлены все
возможные реакции с участием основного и первого возбужденного состояний антиводорода и позитрония. Однако и
эти результаты недостаточно детализированы (используется большой шаг по энергии, в сечениях проявляются не все
особенности). Во всех этих работах была явно или неявно выявлена необходимость дополнительного учета дипольного
взаимодействия. Однако, это не удалось сделать на достаточно полном уровне и, как следствие, не позволило получить
прецизионные результаты для сечений соответствующих процессов, в частности получить достоверные данные о
надпороговых осцилляциях Гайлитиса-Дамбурга. Наконец, в нашей недавней статье [V.A. Gradusov et al. J. Phys. B, 52,
055202 (2019), В.А. Градусов и др. Письма в ЖЭТФ, 114, 6 (2021)] с помощью решения уравнений ФМ мы рассчитали все
возможные сечения рассеяния процессов в диапазоне энергий, в котором возможно получение антиводорода в
состояниях вплоть до второго возбужденного. Использованный нами метод решения уравнений ФМ без разложения по
парциальным волнам позволил нам провести расчеты сечений с высоким разрешением по энергии и воспроизвести
различные особенности сечений: резонансы, положения которых достаточно точно определены независимыми
методами, осцилляции Гайлитиса-Дамбурга (особый вид порогового поведения сечений при взаимодействии
заряженных частиц) и минимумы Рамзауэра. Однако, наличие в системе дальнодействующих взаимодействий не
позволило провести расчеты для произвольных значений полного орбитального момента, так как для этого требовались
абсолютно недоступные вычислительные мощности. Одной из практических целей настоящего проекта как раз
является значительное улучшение вычислительной процедуры, основанной на явном учете вклада дальнодействующих
взаимодействий в асимптотику компонент волновых функций, что позволит проведение расчетов в случае ненулевого
полного момента количества движения и для более широкого диапазона энергий, при которых возможно получениев ысоковозбужденных состояний антиводорода.
4.6. Предлагаемые методы и подходы, общий план работы на весь срок выполнения проекта и ожидаемые результаты
(объемом не менее 2 стр.; в том числе указываются ожидаемые конкретные результаты по годам; общий план дается с
разбивкой по годам)
Исследование асимптотики волновых функций систем заряженных частиц будет базироваться как на традиционных
подходах, использующих принцип локальности [Л.Д. Фаддеев, С.П. Меркурьев «Квантовая теория рассеяния для систем
нескольких частиц». Наука, 1985], так и на сравнительно новом формализме построения асимптотических решений для
многоканальных задач рассеяния в системах заряженных частиц. Здесь одной из отправных точек для изучения
асимптотического поведения волновой функции трех заряженных частиц в двухчастичном секторе будут работы С.Л.
Яковлева [ТМФ, 186:1 (2015) 152-163, ТМФ, 195(3):437-450 (2018), ТМФ, 203(2):269-279 (2020) ], в которых получена
корректная асимптотика трехчастичной волновой функции в двухчастичном секторе и исследованы асимптотические
решения многоканальных задач рассеяния с кулоновскими взаимодействиями.
Детальная информация о структуре асимптотики волновых функций потенциально позволит также применить для
описания рассеяния элегантный метод, основанный на технике комплексных вращений координат [J. Nuttal, H.L. Cohen
Phys. Rev. 188, 1542 (1969), T. N. Rescigno, M. Baertschy, D. Byrum and C. W. Mc-Curdy, Phys. Rev. A 55, 4253 (1997)].
Полученные результаты [M.V. Volkov, E.A. Yarevsky and S.L. Yakovlev, Potential splitting approach to the three-body
Coulomb scattering problem, Euro Physics Letters 110 (2015) 30006]
позволяют положительно оценить перспективы данного подхода. Другим возможным способом детального учета
слагаемых асимптотического разложения волновой функции является его непосредственное использование в
численной схеме решения задачи введением так называемого гибридного базиса [I. Babuska and J.M. Melenk, Int. J.
Numer. Methods Eng. 40, 727 (1997), E. Giladi and J.B. Keller, J. Comput. Phys. 174, 226 (2001), S.N. Chandler-Wilde et al.
Acta Numerica 89 (2012)]. Этот метод, введенный для решения задач акустического рассеяния, мы адаптируем для
расчетов многоканального квантового рассеяния.
Теоретическое описание рассматриваемых систем основано на уравнениях Фаддеева и Фаддеева-Меркурьева в
представлении полного орбитального момента. Данные уравнения записываются в виде дифференциальных или
интегро-дифференциальных уравнений и образуют систему уравнений, количество которых кратно величине полного
орбитального момента системы L плюс один (характерные максимальные величины L порядка 10). Для дискретизации
полученных уравнений используются различные вычислительные подходы: метод конечных разностей, сплайн-
аппроксимация и метод конечных элементов, комбинированный со спектральным подходом и/или методом
дискретных переменных. Для одного и того же уравнения могут применяться различные вычислительные методы с
целью получения наиболее точных аппроксимаций и учета особенностей каждого из уравнений. Получаемые матрицы
систем линейных уравнений являются, как правило, несимметричными и относительно разреженными (от 10-3 и
существенно ниже), что позволяет разрабатывать и использовать специальные методы для их эффективного решения.
В силу большой трудоемкости этих задач, их решение проводится с использованием параллельных систем и средств.
Такой подход, в зависимости от используемых численных методов, применяется как на этапе формирования матриц
линейных систем, так и на этапе их решения и анализа полученных результатов. Будут использованы прямые
алгоритмы решения и формирования линейных систем и задач на собственные значения с использованием
параллельных технологий, а также итерационные алгоритмы, использующие специфику матриц изучаемых уравнений.
В частности, будет использоваться приближенное предобусловливание матричной задачи тензорными методами при
решении уравнений Фаддеева.
На настоящий момент в нашей научной группе имеется параллельная программа, написанная в исходных кодах на
языке программирования С++, которая решает задачу рассеяния с помощью уравнений ФМ в случае ненулевого
полного момента количества движения системы трех частиц. В этом коде для дискретизации уравнений используется
метод сплайн-коллокаций, для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) применяется
алгоритм Арнольди в форме GMRES с предобусловливанием. Для быстрого обращения матрицы предобусловливателя
применяется специальный численный метод, известный как "Тензорный трюк" [N.W. Schellingerhout, L.P. Kok, G.D.
Bosveld. Phys. Rev. A, 40, 5568 (1989)] или алгоритм матричной декомпозиции [B. Bialecki, G. Fairweather, A. Karageorghis.
Numer. Algor., 56, 253 (2011)]. Этот метод является одной из ключевых причин быстродействия нашей программы. Для
решения системы уравнений ФМ в случае ненулевого момента будет использоваться хорошо зарекомендовавшая себя
схема сплайн-коллокации с предобусловливанием. Для матриц системы уравнений ФМ после дискретизации будет
использоваться тензорное представление. Общий план работ на весь срок выполнения проекта:
1) Построение асимптотических решений для уравнения Шредингера и уравнений Фаддеева- Меркурьева для системы
трех частиц с кулоновскими взаимодействиями, явно учитывающих вклад кулоновских и дипольных взаимодействий.
Построение асимптотических граничных условий для уравнений Фаддеева-Меркурьева в представлении полного
орбитального моменты для ненулевых значений момента, явно учитывающих вклад кулоновского и дипольного
взаимодействия.
2) Разработка методов решения задачи рассеяния для трехчастичных систем с кулоновским взаимодействием с
ненулевым полным орбитальным моментом, основанных на методах расщепления потенциала и комплексного
вращения и/или использовании явного вида асимптотического разложения с помощью гибридного базиса.
3) Разработка формализма уравнений Фаддеева для дальнодействующих потенциалов (уравнения Фаддеева-
Меркурьева) при энергиях ниже порога ионизации системы. Получение пригодных для практических расчетов
формул для амплитуд и сечений в представлении полного орбитального момента при произвольном значении момента.
Для получения соотношений для амплитуд и сечений рассеяния в данном представлении будут использованы формулы
для сферических функций, D-функций Вигнера, коэффициентов Клебша-Гордана.
4) Разработка новых и совершенствование уже существующих итерационных численных алгоритмов решения систем
линейных уравнений, возникающих при решении задач из пунктов 2) и 3). Для решения поставленных в проекте задач
необходимо эффективно решать системы линейных уравнений большой размерности, обладающие специальной
структурой. Реализация разработанных методов в основной программе проекта.
1) Проведение расчетов сечений рассеяния в системе антипротон, электрон, позитрон при энергиях выше нескольких
первых порогов возбужденных состояний позитрония Обработка и анализ полученных данных, поиск осцилляций
Гайлитиса-Дамбурга и других особенностей сечений. Для этого потребуется решить проблему учета в
асимптотическом представлении решения медленно убывающего дипольного взаимодействия между нейтральным
атомом и улетающей частицей (например, антиводородом и электроном) для значительного уменьшения сложности
расчетов. С целью обнаружения механизма увеличения выхода реакции образования антиводорода при рассеянии
антипротона на позитронии будут особенно подробно исследованы сечения образования антиводорода над порогами
высоковозбужденных состояний позитрония, так как в этих областях энергий рядом авторов [D. Krasnicky et al. J. Phys. B,
52, 115202 (2019)] предсказан их рост. Также над порогами возбужденных состояний атомов можно ожидать
появления осцилляций Гайлитиса-Дамбурга. Полученные результаты позволят сформулировать предложения по
увеличению выхода реакции производства антиводорода для экспериментов CERN.
2) Проведение с помощью разработанных методов расчетов процессов рассеяния электронов (позитронов) на
водороде и ионизированном гелии, как примера расчетов в системе с асимптотическим кулоновским взаимодействием
3) Проведение массивных расчетов отрицательно и положительно заряженных мюонов на мюонном атоме (\mu^-
p(d,t)) для выяснения зависимости особенностей сечений упругого рассеяния и рассеяния с возбуждением от
массовых соотношений участвующих частиц.
4.7. Имеющийся у научного коллектива научный задел по проекту, наличие опыта совместной реализации проектов
(указываются полученные ранее результаты, разработанные программы и методы)
Коллектив авторов данного проекта успешно работает в области квантовой теории рассеяния для систем нескольких
частиц и ее приложений к актуальным задачам малонуклонной, атомной и молекулярной физики. Участниками
коллектива выполнен ряд пионерских работ фундаментального характера в данной области, формирующих базу для
успешного выполнения задач, сформулированных в настоящем проекте. Построены координатные асимптотики
волновых функций систем нескольких частиц, разработана общая формулировка задачи рассеяния для систем
нескольких частиц, допускающая использование как гладких потенциалов взаимодействия, так и сингулярных
потенциалов, задаваемых граничными условиями или обобщенными функциями. Решен ряд принципиальных проблем
в задаче рассеяния для кулоновских систем. Разработаны современные эффективные вычислительные методы
решения как задач на связанные состояния и рассеяния так и задач корректного нахождения резонансов в трех и
четырех частичных системах с весьма обширным спектром различных потенциалов взаимодействий. Разработанные
методы базируются на уравнениях Фаддеева (Меркурьева-Фаддеева). На основе этих методов созданы
вычислительные алгоритмы, реализованные на современных высокопроизводительных параллельных
вычислительных системах. Опыт проведения численных расчетов в конкретных задачах трех частиц, позволит
авторам применить для решения сформулированных задач современные численные методы.
1. V A Gradusov, V A Roudnev, E A Yarevsky and S L Yakovlev
High resolution calculations of low energy scattering in e−e+p¯ and e+e−He++ systems via Faddeev–Merkuriev equations
2019 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 52 055202
2. Gradusov V.A., Roudnev V.A., Yarevsky E.A., Yakovlev S.L. (2020)
Potential Splitting Approach for Faddeev-Merkuriev Equations: Application to e−− H ¯ (e+−H) and e+−He+ Multichannel
Scattering.
In: Orr N., Ploszajczak M., Marqués F., Carbonell J. (eds) Recent Progress in Few-Body Physics. FB22 2018. Springer
Proceedings in Physics, vol 238. Springer, Cham
DOI https://doi.org/10.1007/978-3-030-32357-8_5, p.p. 25-28
3. Vitaly A. Gradusov, Vladimir A. Roudnev, Evgeny A. Yarevsky, Sergey L. Yakovlev
Solving the Faddeev-Merkuriev Equations in Total Orbital Momentum Representation via Spline Collocation and Tensor
Product Preconditioning
Commun. Comput. Phys., 30 (2021), pp. 255-287.
4. V.A. Gradusov, V.A. Roudnev, E.A. Yarevsky, S.L. Yakovlev
Заявка № 23-22-00109 Страница 20 из 24
Theoretical Study of Reactions in e^-e^+ \anti p Three Body System and Antihydrogen Formation Cross Section
JETP Letters, 2021, Vol. 114, pp. 11-17
DOI: 10.1134/S0021364021130026
