Дж. Бинни (MNRAS, 2012, 426, 1324) разработал алгоритм построения фазовой модели Галактики, основанный на описании звездной системы в
переменных действие-угол. Задача свелась к наиболее точному
определению переменных действия из обычных фазовых координат.
Изначально для решения данной задачи использовался метод построения
торов, однако он оказался неудобен, так как дает зависимость фазовых
переменных от действий и углов, а не наоборот, как требуется (M. Kaasalainen, J. Binney, MNRAS, 1994, 268, 1033). На смену ему пришел метод адиабатических инвариантов, однако он оказался применим только для звезд близких к экваториальной плоскости (J. Binney, MNRAS, 2010, 401, 2318). В настоящее время широко используется метод, основанный на сепарабельных потенциалах, наиболее известной группой которых являются потенциалы Штеккеля. Такие потенциалы использовались для разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби в механических задачах (P. Staeckel, Math. Ann., 1890, 35, 91; Levi Civita, Math. Ann., 1904, 59, 383), а в звездную динамику их ввел А. Эддингтон (MNRAS, 1915, 76, 37).
Модели со штеккелевскими потенциалами допускают существование
третьего квадратичного по скоростям интеграла движения, помимо
классических интегралов энергии и площадей. Наличие третьего
интеграла позволяет объяснить наблюдаемую в окрестности Солнца
трехосность эллипсоида скоростей, не выходя за рамки теории
стационарной Галактики. Задача вычисления орбит для моделей с тремя
интегралами движения может быть решена в квадратурах.
В штеккелевских потенциалах переменные действия находятся
интегрированием соответствующих канонических импульсов, которые в
свою очередь являются решением алгебраических уравнений, содержащих интегралы движения (J. Sanders, J. Binney, MNRAS, 2016, 457, 2107). В литературе приводятся различные выражения для фазовой плотности, аргументами которой являются переменные действия (J. Binney, P. McMillan, MNRAS, 2011, 413, 1889; L. Posti et al., MNRAS,
2015, 447, 3060). Угловые переменные можно найти дифференцированием производящей функции уравнения Гамильтона-Якоби по соответствующим переменным действия.
Работ, в которых строились штеккелевские модели на основе
наблюдательных данных, известно немного. Одной из первых является
работа С. Сато и М. Миямото (Astr. Soc. of Japan Publ., 1976, 28, 599). Для построения однокомпонентных моделей авторы используют данные о галактическом вращении и плотность в окрестности Солнца. Однако в работе используются всего 18 объектов, некоторые данные устарели.
Более современной является работа Б. Фамаэ и Х. Дейонге (MNRAS, 2003, 340, 752), в которой строятся штеккелевские модели Галактики на основе принятых динамических характеристик (локальная круговая скорость, плоская кривая вращения, постоянные Оорта). Однако, как отмечают сами авторы, необходима работа непосредственно по исходным кинематическим данным, а не по производным характеристикам.
В работе Дж. Бинни применяется алгоритм построения фазовой модели
системы шаровых скоплений (J. Binney, L. K. Wong, MNRAS, 2017, 467, 2446). В предположении, что нештеккелевский потенциал обладает свойствами штеккелевского (так называемый "Staeckel fudge"), находятся переменные действия для такой модели. Кроме того, для нахождения потенциала численно решается уравнение Пуассона, а, значит, данная модель является лишь приближенным решением.
Широкое распространение теория штеккелевских потенциалов получила в работах отечественных ученых (Г.Г. Кузмин, Публ. Тартуск. обсерв., 1952, 32, 332; Л.П. Осипков, Вестник Ленингр. ун-та., 1975, 7, 151). В.И. Родионовым (Вестник Ленингр. ун-та., 1974, 13, 142) разработан метод, позволяющий получать штеккелевское обобщение для любого потенциала. Преимущество данного метода заключается в том, что выражения для потенциала и пространственной плотности получаются аналитическими.
В последнее время при моделировании звездных систем широко
используются данные о вращении Галактики, полученные в результате
наблюдения мазеров (например A. Irrgang et al., Astron. Astrophys., 549, 2013, A137; А.Т. Байкова, В.В. Бобылев, Письма в Астрон. ж., 2016, 42, 625). На основе этих данных одно- и двухкомпонентные штеккелевские модели Галактики строились А.О. Громовым, И.И. Никифоровым и Л.П. Осипковым (Baltic Astronomy, 2015, 24, 150; 2016, 25, 53). Создание полноценной - трехкомпонентной - модели по данным о мазерах
с тригонометрическими параллаксами явится естественным продолжением этих работ.
За два года реализации проекта был построен набор трехкомпонентных (гало, диск, центральная компонента) штеккелевских моделей Галактики, согласующихся с данными о ее вращении и с рядом динамических характеристик и имеющих реалистичное вертикальное распределение пространственной плотности. Построенные модели, являясь наиболее
точными из всех известных в литературе штеккелевских моделей, представляют самостоятельный интерес, а также могут служить фундаментом для дальнейших работ по созданию фазовых моделей Галактики.
Разработанный метод построения штеккелевской модели начинается с задания потенциала в экваториальной плоскости (исходного потенциала). Параметры последнего оцениваются в результате процедуры оптимизации модельной кривой круговой скорости по отношению к азимутальным скоростям, найденным по данным о тригонометрических параллаксах и
пространственных скоростях мазеров. Использовались выборки, основанные на каталогах Расторгуева и др. (2017), Reid et al. (2019) и VERA collaboration et al. (2020). Данная процедура учитывает
измерительную и природную дисперсию азимутальной скорости и использует алгоритм исключения объектов с избыточными невязками (выбросов). Также была добавлена возможность корректировки за асимметричный сдвиг.
Затем потенциал обобщается из экваториальной плоскости на все пространство штеккелевским образом. Вначале для этого использовались формулы, предложенные в работах В. И. Родионова (1974). Одним из результатов такого обобщения является аналитическое выражение для пространственной плотности. Однако модельное вертикальное распределение плотности при этом получалось нереалистичным.
Было предложено два подхода для решения этой проблемы. В первом, основанном на условной оптимизации, на законы плотности диска и/или гало накладываются наблюдательные ограничения. В данном подходе удалось решить только частную задачу построения толстого (но не тонкого) диска; добиться желаемого сжатия гало не
удалось.
Второй подход оказался более универсальным. В нем потенциал обобщается из экваториальной плоскости на все пространство с помощью метода эквипотенциалей. Таким образом в штеккелевском разложении потенциала становится возможным применение двух
разных функций, одна из которых отвечает за радиальное распределение, а другая за вертикальное. Кроме того, использование эквипотенциалей вводит дополнительные параметры в выражение для пространственной плотности, варьирование которых и позволяет непосредственно влиять на вертикальную структуру. Были построены модели с различным сжатием компонент Галактики, в том числе сферические.
Последний подход был применен для построения штеккелевских моделей не только по мазерам, но и по средним значениям круговой скорости, полученным Eilers et al. (2019) в результате обработки данных о ярких красных гигантах и представляющим более далекие, чем мазеры, галактоцентрические расстояния. Для всех данных удалось добиться желаемых результатов.
Благодаря успеху разработанного алгоритма построения штеккелевских моделей, основанного на методе эквипотенциалей, можно утверждать, что задача, предложенная в проекте, успешно решена. Были построены трехкомпонентные штеккелевские модели, которые согласуются с данными о вращении Галактики. Установлено согласие моделей с
рядом динамических характеристик, которые не являются входными
данными. Решена задача получения реалистичного вертикального распределения для различных предположений о вертикальной структуре компонент. Построенные модели являются наиболее реалистичными из всех известных в литературе штеккелевских моделей.
