Спектральные и асимптотические методы в некоторых актуальных задачах математической физики: 2021 г. этап 2

Project: Grant fulfilmentGrant stage fulfilment

Project Details

Description

В проекте изучаются содержательные актуальные задачи спектральной теории, возникающие в разных областях современной математической физики. Будут исследоваться почти-периодические операторы (оператор почти-Матье), спектральные задачи для оператора Лапласа в клиньях, конусах и подобных областях с разными граничными условиями (обобщенные собственные функции и собственные функции дискретного спектра), рассеяние и структура абсолютно непрерывного спектра для теплицевых операторов (в том числе с разрывными символами), дискретный спектр псевдодифференциальных операторов нулевого порядка. По каждому из перечисленных направлений будут изучаться важные нерешенные задачи, вызывающие активный интерес известных специалистов.

Спектр оператора почти-Матье с с иррациональной частотой - разностного оператора Шредингера с простейшим почти-периодическим потенциалом на целочисленной решетке - канторов. Его свойства привлекают внимание многих известных математиков. В квазиклассическом приближении естественно последовательно обнаруживаются конечные наборы из все меньших и меньших лакун, что приводит к описанию спектра, подобного описанию классического канторова множества. Одна из важных открытых задач - исследование спектральных свойств оператора около центра спектра и вблизи аналогичных точек на интервалах, содержащих спектр и оказывающимися между найденными лакунами после обнаружения очередного конечного набора лакун. Именно около таких точек асимптотически концентрируется большая часть спектра. Мы нацелены на описании геометрии спектра, плотности состояний, и, возможно, обобщенных собственных функций в этих зонах. Для решения этой задачи потребуется содержательное развитие комплексного метода ВКБ для разностных уравнений. (А.А. Федотов, Е.В. Щетка, И.И. Лукашева)
Задачи рассеяния на клиньях, бесконечных многоугольниках и подобных областях возникают в теории распространения волн и вызывают постоянный большой интерес у специалистов-прикладников. С помощью интегральных преобразований они сводятся к исследованию систем разностных уравнений, которое проводится методами комплексного анализа. Подобные задачи начали активно изучаться и в спектральной теории методами функционального анализа. Мы планируем использовать опыт, накопленный в теории распространения волн для решения задач спектральной теории. В частности, будут исследованы некоторые спектральные задачи углах с краевыми условиями Робэна, изучены спектр и собственные функции (включая обобщенные). Особый интерес вызывают случаи узких клиньев, конусов и т.д. Здесь масса вопросов, которые не удается хорошо исследовать даже численно. Математически же дело сводится к исследованиям в квазиклассическом приближении. Такими задачами мы тоже планируем активно заниматься. (М.А.Лялинов, В.А.Сергеев)
Сотни работ были посвящены асимптотике и оценкам собственных значений (псевдо-)дифференциальных операторов положительного и отрицательного порядка. Теперь возник интерес к анализу операторов нулевого порядка, что связано, в частности, с вопросами распространения волн в жидкости. Получен ряд важных результатов о свойствах абсолютно непрерывного спектра и решений соответствующего эволюционного уравнения. Относительно дискретного спектра результатов нет. В проекте предполагается исследовать его и, в частности, найти оценки и асимптотику собственных значений. (Г.Розенблюм)
Операторы Теплица с разрывными символами, особенно типа Фишера-Хартвига, являются традиционным объектом классического анализа. Их изучали с помощью "обрезанных" теплицевых матриц. Мы предлагаем новый взгляд на эту проблему, основанный на идеях теории рассеяния. Мы применим этот подход для классификации абсолютно непрерывного спектра самосопряженных тёплицевых операторов. Для этого, в частности, мы собираемся построить теорию рассеяния для таких операторов. (Д.Яфаев)

Layman's description

Атом поглощает и излучает свет только определенных длин волн. Это связано с тем, что спектр атома – множество возможных значений энергии атома – дискретен, состоит из отдельных точек – собственных значений. Спектр электрона в периодических структурах, например, в кристаллах состоит из отрезков. Для электронов с энергиями, принадлежащими таким отрезкам – зонам проводимости, кристалл оказывается проводником. Дополнительные к ним отрезки называются лакунами, для электронов с соответствующими энергиями кристалл является изолятором. Квантовые частицы во многом ведут себя как волны. Поэтому в квантовой физике и в теории распространения волн изучают математически очень близкие задачи. Квантовые системы и распространение волн часто описываются дифференциальными или разностными уравнениями, содержащими спектральный параметр (имеет смысл энергии). Значения спектрального параметра, для которых такие уравнения имеют собственные функции – решения, допускающие некоторую естественную физическую интерпретацию (ими являются, например, ограниченные или убывающие на бесконечности решения), образуют с точки зрения физиков спектр квантовой системы или набор возможных значений волновых чисел в теории распространения волн. С точки зрения математиков это – спектр дифференциального или разностного оператора. Спектральная теория изучает спектры операторов, возникающих в физике и математике.
Уравнения, описывающие физические системы (квантовые системы, распространение волн, упругие среды и т.д.) очень часто содержат большие или малые параметры, позволяющие исследовать задачу приближенно. Такие параметры называются асимптотическими, а
асимптотические методы – приближенные методы исследования задач, напр., дифференциальных или разностных уравнений, содержащих асимптотические параметры. Так, в квантовой механике используется квазиклассическое приближение, если параметры квантовой системы таковы, что она начинает вести себя как классическая механическая система. Асимптотические методы, возникающие в разных задачах, часто имеют одну и ту же математическую природу. Это, например, касается квазиклассических методов и коротковолнового приближения. Они применяются при исследовании дифференциальных и разностных уравнений с медленно изменяющимися коэффициентами.
Основные результаты проекта.
1) В квазиклассическом приближении исследовалась геометрия спектра оператора почти-Матье. Он возникает при описании электрона в кристалле в постоянном слабом магнитном поле. Спектр этого оператора имеет самоподобную, фрактальную структуру. Одельные его участки оказываются близки к спектрам операторов почти-Матье с новыми параметрами и т. д. У спектра имеются особые точки, около которых его «больше всего». Так как спектр самоподобен, то таких особых точек бесконечно много. Мы изучаем спектр около них. Для этого пришлось существенно развить квазиклассические методы, имеющие самостоятельную ценность. Благодаря этому мы получили первые результаты об устройстве спектра вблизи особых точек.
2) Исследовалась квантовая частицы в угловой области на плоскости. Задача состояла в том, чтобы описать все ее возможные состояния и соответствующие значения энергии, а так же исследовать поведение частицы вдали от вершины угла. Задача оказалась связана с известным в математике оператором Меллера. И этот мотивировало исследование исследование его новых свойств.
3) Две следующие задачи – тонкие математические задачи о дискретном спектре операторов, связанных с исследованием распространения волн в упругих средах. В частности, исследовалась скорость накопления точек дискретного спектра к конечным точкам.
4) Изучались операторы Якоби. Это -- очень важный математический объект, играющий в спектральной теории такую же роль, как оператор Шредингера, описывающий движение квантовой частицы, в квантовой физике. А с другой стороны, операторы Якоби возникают в разнообразных задачах квантовой физики. Так исследовалась при больших временах квантовая эволюция, порождаемая операторами Лагерра, исследовались собственные значения и собственные функции с большими номерами. Эти задачи мотивировали исследования пока не достаточно изученного класса дифференциальных операторов.
5) Исследовалась специальная функция, которую можно считать тригонометрическим аналогом Г-функции Эйлера. Этот интересный математический объект с богатыми свойствами возникает в очень разных задачах, пришедших из физики. Изучено ее поведение на бесконечности и его связь с классическими вопросамитеории чисел.
6) Исследовалась квантовая частица, локализованнаяв потенциальной яме, медленно зависящей от времени. Поэтому число возможных энергетических состояний частицы, локализованной в потенциальной яме, меняется. Если точка спектра, отвечающая локализованной частице исчезает, то частица покидает потенциальную яму и уходит на бесконечность. Были выведены асимптотические формулы, описывающие этот процесс.

Key findings for the stage (in detail)

1) Оператор почти-Матье
Оператор почти-Матье действует в ℓ_2 на целочисленной решетке по формуле
H(θ)f (n)=f(n+1)+f(n-1)+2cos(2π(ωn+θ)) f(n),
где n — целочисленная переменная, а 0<ω<1 и 0≤θ<1 – параметры. Предполагается, что частота ω иррациональна. Тогда n → 2cos(2π(ωn+θ)) – почти периодическая функция, и спектр оператора оказывается канторовым множеством. Его исследованию посвящено много работ. В случае, когда частота разлагается в непрерывную дробь с большими элементами, спектр может быть исследован в квазиклассическом приближении, и физики на эвристическом уровне показали, что спектр содержится в объединении экспоненциально малых интервалов, на каждом из которых с точностью до растяжения его можно приближенно описать как спектр оператора H c новыми параметрами. Спектр нового оператора опять расположен на последовательности экспоненциально малых интервалов и т. д. Эти результаты сделали строгими Helffer и Sjostrand. Им удалось доказать канторовость спектра, но они не смогли предложить конструктивного описания спектра рекуррентными асимптотическим формулами.
Буслаев и Федотов предложили подход, возникший при попытке перенести теорию Блоха-Флоке на разностные уравнения на оси. Спектр оператора H(θ) совпадает со спектром разностного оператора Шредингера H, действующего в L_2 на оси по формуле
Hψ (x)=ψ(x+ω)+ψ(x-ω)+2cos(2π x) ψ(x). (1)
Он коммутирует с оператором сдвига на единицу – периодом функции x→2cos(2π x). И для него, как и для дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, можно ввести матрицу монодромии – матрицу оператора сдвига на единицу, ограниченного на пространство решений. Теперь пространство решений оказывается двумерным модулем над кольцом ω-периодических функций, и матрица монодромии оказывается матрицей размера 2х2, периодической с периодом ω. Исследование спектра исходного уравнения сводится к исследованию нового разностного уравнения -- уравнения монодромии
Ψ(x+ω(1) )=M( x) Ψ(x), где M – матрица монодромии после линейной замены переменной, делающей ее 1-периодической, а ω(1) ={1/ ω} – преобразование Гаусса частоты.
Так как M тоже 1-периодична, то и для уравнения монодромии можно ввести матрицу монодромии, возникает второе уравнение монодромии с новым параметром сдвига ω(2), равным преобразованию Гаусса ω(1) и т. д.
Буслаев и Федотов показали, что (a) базисы в пространствах решений исходного уравнения и всех уравнений монодромии можно выбрать так, что все все матрицы монодромии окажутся тригонометрическими полиномами первого порядка из одного и того же 2-параметрического семейства, и что при определенных условиях (б) если нулевая гармоника следа матрицы монодромии по модулю больше 2+с, где с – некоторая константа , то спектральный параметр исходного уравнения находится вне спектра. Эти результаты в существенном свели исследование спектра к вычислению асимптотик отображения пересчитывающего параметры n-го уравнения монодромии в параметры (n+1)-го.
Выяснилось, что следы матриц монодромии описываются простыми асимптотическими формулами вне асимптотически малых особых зон изменения спектрального параметра. Чтобы описать их рассмотрим уравнение Шредингера, соответствующее оператору (1):
ψ(x+ω)+ψ(x-ω)+2cos(2π x) ψ(x)=Eψ(x), (2)
где E – спектральный параметр. Все постоянные коэффициенты матрицы монодромии M определяются двуми коэффициентами Фурье одного из коэффициентов M. Он выражается через (разностный) вронскиан решений уравнения. Квазиклассические асимптотики решений (асимптотики при малых ω) описываются в терминах импульса p – многозначной аналитической функции, определяемой символом уравнения (2) :
2 cos p+2cos (2π x)=E.
Точки ветвления импульса – точки, где E-2cos (2π x)=2 или E-2cos (2π x)=-2. Они играют роль, которую играли точки поворота для дифференциальных уравнений.
Близкие точки поворота возникают, если E близко к 0, к 4 или к -4. Около 4 и -4 находятся края спектра, а E=0 – точка симметрии спектра. На экспоненциально малых интервалах, содержащих спектр, он описывается в терминах уравнения монодромии. При исследовании его решений на таком интервале опять возникают близкие точки поворота, соответствующие его концам и некоторой точке в центральной части. На этом интервале спектр опять находится на экспоненциально малых по сравнению с его длиной интервалов и т.д.
Асимптотические формулы для коэффициентов матрицы монодромии в случае близких точек поворота были получены в прошлом году. Они усложняются, старшие члены асимптотик выражаются через Г-функцию.
В этом году мы подготовили подробный текст, посвященный выводу асимптотик матрицы перехода, связывающей два базиса решений уравнения
ψ(x+ω)+ψ(x-ω)+v(x) ψ(x)=Eψ(x),
с аналитическим коэффициентом v, в случае, когда решения этих двух базисов имеют имеют стандартное квазиклассическое поведение соответственно на двух областях комплексной плоскости, разделенных парой близких точек поворота. По существу, этот результат является получен в рамках комплексного метода ВКБ для разностных уравнений в комплексной плоскости. Из-за нелокальности разностного уравнения, подробное обоснование асимптотик оказалось достаточно напряженными и потребовало содержательной работы.
Pdf файл текста приложен к отчету (файл two_points.pdf). Мы планируем выложить его на arXiv.org и послать в журнал в ближайшее время (после доработки). Готовится аналогичный текст для систем разностных уравнений.
Как планировалось, за счет анализа полученных асимптотик были получены первые результаты об устройстве спектра в особых областях, соответствующих близким точкам поворота. Коротко опишем их. Вернемся к первой матрице монодромии для оператора (1).
Обсудим поведение нулевой гармоники ее следа Ԑ(E). Фиксируем δ. На отрезке (0,4) вне δ-окрестности точек 0 и 4 при достаточно малом ω (т. е. достаточно большом первом элементе цепной дроби для ω) Ԑ(E) осциллирует с экспоненциально большой по ω амплитудой, с периодом порядка 1/ ω. Поэтому и оказывается, что спектр расположен на экспоненциально малых интервалах, находящихся друг от друга на расстояниях порядка ω. Около точки 4 осцилляции с большой амплитудой заменяются ростом (за счет близких точек поворота), и поэтому здесь находится край спектра. Расположенные рядом интервалы, содержащие спектр, по-прежнему экспоненциально малы и расположены на расстоянии порядка ω друг от друга. Принципиально поведение Ԑ(E) меняется около нуля. При приближении E=0 к нулю амплитуда осцилляций становится порядка единицы (при E=0 она равна единице!). Поэтому нуль оказывается точкой накопления спектра: если вдали от нуля спектр расположен на экспоненциально малых интервалах, то около нуля он расположен на интервалах длины порядка ω, как и лакуны между этими интервалами. Аналогичный эффект наблюдается и в окрестности центров этих интервалов и т. д.
Получены реккурентные асимптотические оценки снизу для длин большинства лакун в особых областях и асимптотики их центров. Описанные эффекты определяют тонкие геометрические характеристики спектра. Работа готовится к печати.
Исполнитель: А.А.Федотов

2) Для спектральных задач в углах и подобных областях:
В последних наших работах был развит новый подход, позволяющий исследовать координатные асимптотики собственных функций оператора Шредингера с сингулярным потенциалом, имеющим носитель на конусовидных или клиновидных поверхностях в пространстве или на "звездных графах" (например, на пересекающихся в одной точке прямых) в случае плоскости. В частности, была изучена задача о собственных функциях для оператора Шредингера на плоскости с сингулярным дельта-штрих-потенциалом с носителем на ломаной линии, состоящей из двух полубесконечных лучей.
Соответствующий самосопряженный оператор A определен с помощью полуторалинейной полуограниченной замыкаемой формы. В классической постановке это задача на собственные функции для оператора Лапласа с условиями непрерывности нормальной производной на этой ломаной линии, а также с условием типа Робэна на ней, в подходящем классе функций.
В рамках неполного разделения переменных решение ищется в виде интеграла Конторовича-Лебедева и сводится к исследованию функционально-разностного уравнения с мероморфным потенциалом (коэффициентом) и характеристическим параметром (константой связи). Этот параметр напрямую связан со спектральным параметром исходного самосопряженного оператора A. Функционально-разностное уравнение редуцировано к интегральному уравнению с характеристическим параметром и ограниченным самосопряженным интегральным оператором на отрезке [0,1] типа возмущенного оператора Мёлера K=M+V, где M – невозмущенный оператор Мелера – самосопряженный интегральный оператор на отрезке [0,1] с ядром 1/( π(x+y)), а V -- компактный интегральный оператор с ядром вида v(x,y)/(x+y).
Спектр оператора K состоит из существенного спектра на отрезке [0,1] и дискретной его части правее единицы. По существу, построение собственных функций и чисел исходного оператора сводится к изучению спектра и собственных функций этого оператора. Предложено достаточное условие существования дискретного спектра для некоторого класса мероморфных потенциалов, которое оказывается выполненным в изучаемой задаче (хотя и не для всех значений угла между полубесконечными лучами). Тем самым, построены интегральные представления собственных функций в рассматриваемой исходной задаче для оператора.
Для исследования координатных асимптотик собственных функций интегральное представление Конторовича-Лебедева преобразуется к интегралу Зоммерфельда, который изучается методом перевала. Асимптотика представляется убывающими экспонентами, причем скорость убывания меняется на сингулярном направлении. В малой угловой окрестности сингулярных направлений асимптотика описана интегралом френелевского типа. Хотя качественное описание спектров в такого сорта задачах было возможно с использованием общих методов спектральной теории, асимптотическое поведение собственных функций в данном круге задач, по-видимому, получено впервые.
Итак, в основе описания спектра лежит неполное разделение переменных и редукция к функционально-разностным уравнениям с мероморфным потенциалом, допускающим эффективное исследование с помощью возмущенных операторов Мёлера K=M+V. Вычисление же асимптотики собственной функции по расстоянию
основано на тесной связи интегралов Конторовича-Лебедева и интегралов Зоммерфельда, возможности гибкого использования последних при вычислении асимптотики интегралов посредством различных модификаций метода перевала.
По части результатов этого исследования опубликована статья.
Также впервые изучено асимптотическое поведение решения задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера с невозмущенным оператором Мелера M, тем самым, исследована асимптотика поведения унитарной группы невозмущенного самосопряженного оператора Мелера на больших временах. Вычисления основаны на возможности явной диагонализации оператора M с помощью модифицированного преобразования Мелера-Фока. Задача построения асимптотики сводится к изучению асимптотического поведения решения в виде некоторого повторного интеграла в ситуации двух близких стационарных точек фазовой функции, зависящей от большого параметра -- времени t. В общем случае равномерная по x (из интервала [0,1]) асимптотика представляется интегралом по конечному промежутку от функции Эйри и ее производной. Однако, если стационарные точки не близки, что выполнено для почти всего отрезка [0,1] за исключением асимптотически малой его части, интеграл от функций Эйри дополнительно упрощается и выписывается в терминах некоторых стандартных интегралов от элементарных функций. Таким образом, описано асимптотическое поведение волновой функции – решение задачи Коши, характеризуемое старшими членами равномерной асимптотики, которая дополнительно упрощается для почти всех x.
Исполнитель: М.А.Лялинов

3) По исследованию дискретного спектра ПДО нулевого порядка:
В 2021 году продолжалась работа по созданию методов исследования дискретного спектра псевдодифференциальных операторов нулевого порядка, и их приложениям к спектральным задачам теории упругости. Ранее, другими исследователями дискретный спектр таких операторов не изучался.
A. Для оператора Неймана-Пуанкаре, то есть оператора потенциала двойного слоя трехмерной теории упругости, имеющего для случая однородного изотропного материала три точки существенного спектра, на основе разработанных автором общих методов была найдена асимптотика собственных значений, сходящихся к точкам существенного спектра. Найден степенной порядок сходимости собственных значений и найдены выражения для коэффициентов в асимптотике. Найдена зависимость характеристик спектра от геометрии тела. Выведено, что двусторонняя асимптотика спектра выражается через эйлерову характеристику и энергию Виллмора поверхности. Результаты изложены в статье в препринте, выложенном на arxiv.org, статья отправлена в журнал. Метод исследования и результаты являются существенно новыми.
Б. . Разработан метод анализа собственных значений псевдодифференциальных операторов нулевого порядка вблизи неизолированной концевой точки существенного спектра. Как порядок сходимости, так и коэффициент в асимптотике зависят от структуры спектра символа вблизи этой точки. Рассмотрен ведущий частный случай невырожденного экстремума символа. Найдено, что в этом случае собственные значения сходятся к пределу вдвое быстрее по порядку, чем в случае изолированной точки существенного спектра. Анализ основан на сведении осуждаемой задачи к исследованию отрицательного спектра операторов типа Шредингера. В качестве приложения, изучен дискретный спектр оператора Неймана-Пуанкаре трехмерной задачи теории упругости для случая неоднородного материала. Результаты опубликованы в препринте, выложенном на arxiv.org, статья отправлена в журнал. Полученные резульnаты и метод исследования предшествующих аналогов не имеют.
Исполнитель: Г.Розенблюм.
4) По теории теплицевых операторов :
Вместе с А.Соболевым была построена спектральная теория и начато построение теории рассеяния для тёплицевых операторов с кусочно-непрерывными символами. Это стимулировало изучение ряда смежных вопросов, связанных с теорией операторов Якоби:
A. Построена теория рассеяния для операторов Лагерра. Это -- операторы Якоби J_p с p>-1, собственные функции которых являются полиномами Лагерра. Операторы J_p имеют абсолютно непрерывный простой спектр, совпадающий с положительной полуосью. Однако этот факт вовсе не означает существования волновых операторов для пар J_p, J_q. Наша цель состояла в том, чтобы показать, что, тем не менее, это верно. Мы также нашли явное выражение для этих волновых операторов.
Мы также изучили временную эволюцию (exp(−Jt) f )_n при |t | → ∞ для операторов Якоби J, чьи собственные функции являются различными классическими полиномами. Для полиномов Лагерра оказывается, что эволюция (exp(−J_p t) f )_n сосредоточена в области, где n ∼ t вместо n ∼ |t | как это бывает в стандартных ситуациях. В качестве побочного продукта наших рассуждений мы получаем универсальные отношения между амплитудой и фазой в асимптотических формулах для общих ортогональных многочленов.
Б. Получены новые универсальные соотношения в асимптотических формулах для ортогональных полиномов. Ортогональные полиномы Pn (x ) являются осциллирующими функциями от n при n, стремящемся к бесконечности, для x на абсолютно непрерывном спектре соответствующего оператора Якоби J. Мы показываем, что независимо от каких-либо конкретных предположений о коэффициентах операторa J, амплитудный и фазовый множители в асимптотических формулах для Pn(x) связаны определенными универсальными соотношениями, найденными в статье. Наш подход основан на изучении операторов, диагонализирующих операторы Якоби. Эти операторы строятся в терминах ортогональных многочленов Pn. Они действуют из пространства L2(R) функций в пространство L2(Z+) последовательностей. Мы рассматриваем такие операторы в достаточно общей постановке и находим необходимые и достаточные условия их ограниченности.
В. Квазиклассический анализ в случае предельного круга.
Мы рассматриваем дифференциальные уравнения второго порядка с вещественными коэффициентами, которые находятся в случае предельной окружности на бесконечности. С помощью квазиклассического анзаца строятся решения (решения Йоста) таких уравнений с заданной асимптотикой на бесконечности по координате. Оказывается, что в случае предельного круга этот анзац можно выбрать общим для всех значений спектрального параметра z. Это приводит к асимптотическим формулам для всех решений рассматриваемых дифференциальных уравнений, как однородных, так и неоднородных. Мы также эффективно описываем все самосопряженные реализации соответствующих дифференциальных операторов в терминах граничных условий на бесконечности и находим представление для их резольвент.
Исполнитель: Д.Р.Яфаев.

5) Изучалась специальная функция, являющаяся тригонометрическим аналогом гамма-функции Эйлера (не планировалось в заявке). Она -- мероморфное решением разностного уравнения σ(z + h, h ) = (1 + exp(- iz)) σ(z- h, h), где 0<h<π – параметр. Эта функция имеет хорошо известна. В теории почти периодических уравнений возникает потребность в исследовании произведений вида (1 + exp(- iz)) (1 + exp(- i(z+2h)) … (1 + exp(- i (z+2Nh) ) ). Оно эквивалентно исследованию поведения σ(z , h ) при Re z → ∞. Задача содержательна, поскольку у σ( . , h ) на вещественной оси при иррациональных h/π имеется богатое множество нулей, становящееся все более и более плотным вдали от 0. Нами было описано типичное поведение σ (для почти всех иррациональных h) вдоль прямых с постоянной Im z<0. Было показано, что σ выражается через произведение скалярных сомножителей, быстро стремящихся к единице с ростом номера. При этом число сомножителей имеет порядок ln(Re z). Если в цепной дроби, изображающей число h, есть большие элементы в конечном или счетном числе, то с точностью до множителя вида exp ( O(1) ) при больших Re z значения σ( . , h ) описываются конечным произведением почти периодических сомножителей, число которых не зависит от Re z, и которые определяются конечным числом больших элементов цепной дроби. Это хорошо иллюстрируется и компьютерными вычислениями. По материалам работы сделан доклад на международной конференции и опубликована статья в «Записках научных семинаров ПОМИ».
Исполнители: И.И.Лукашева, А.А.Федотов
6) Исследовались адиабатические нормальные волны в задаче о модельном одномерном нестационарном уравнении Шредингера с потенциалом, медленно зависящим от времени (исследование не планировалось сначала). N-ая адиабатическая нормальная волна – решение, которое на определенных временах в старшем порядке пропорционально N-ой собственной функций одномерного стационарного оператора Шредингера, формально возникающего при делении переменных в нестационарном уравнении с «замороженной» зависимостью потенциала от времени. Эта функция и N-е собственное значение зависят от времени, как от параметра. Когда N-ое собственное значение подходит к абсолютно непрерывному спектру и исчезает, достигнув его, то асимптотика адиабатической нормальной волны должна претерпеть существенную перестройку. А.А. Федотов ранее описал такую перестройку внутри потенциальной ямы, а в 2021 году были получены равномерные асимптотические формулы для адиабатической нормальной волны за пределами потенциальной ямы. Было показано, как решение, локализованное ранее в потенциальной яме, перестает быть локализованным. Отметим, что подобный эффект известен в акустике океана в похожей задаче о рассеянии звука в узком прибрежном морском клине. Сделано три доклада на международных конференциях, работа готовится к печати.
Исполнители: В.А.Сергеев, А.А.Федотов.
7) Изучались квазиклассические асимптотики решений системы разностных уравнений первого порядка на комплексной плоскости (когда в системе уравнений есть малый квазиклассический параметр). Ранее А.А.Федотов и Е.В. Щетка получили такие асимптотики для решений систем двух уравнений. Теперь результат обобщен на произвольное конечное число уравнений. Показано, что для системы из n уравнений существуют решения, имеющие естественную квазиклассическую асимптотику на областях, выделяемых 2n геометрическими условиями. Построены аналоги топологической фазы.
Результаты были доложены на международной конференции. Работа готовится к печати.
Исполнитель: Е.В.Щетка.

Мы считаем, что в целом, по объему и уровню результатов планы из заявки заметно перевыполнены.
Публикации по проекту:Fedotov A. A.. Semiclassical Asymptotics for a Difference Schrödinger Equation with Two Coalescent Turning Points. Mathematical Notes, 2021, 109 - 5-6, 990-994, IPF 0.673
Лукашова Ирина Игоревна, Федотов Александр Александрович. О самоподобном поведении логарифмических сумм. Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения математического института им. В.А. Стеклова РАН, 2021
M.A. Lyalinov, N.Y.Zhu. Scattering of a surface wave in a polygonal domain with impedance boundary. Алгебра и анализ, 2021
Yafaev Dmitri. Scattering theory for Laguerre operators. 2021, 457-478
Яфаев Дмитрий Рауэльевич. Semiclassical analysis  in the limit circle case. arXiv.org, 2021, arXiv: 2106.04196
Yafaev D. R.. Universal Relations in Asymptotic Formulas for Orthogonal Polynomials. Functional Analysis and Its Applications, 2021, 55 - 2, 140-158
GRIGORI ROZENBLUM. Asymptotics of eigenvalues of the NP operator in 3D elasticity. arXiv.org, 2021, arxiv: 2112.07710
GRIGORI ROZENBLUM. Discrete spectrum of zero order pseudodifferential operators. arXiv.org, 2021, arxiv.org:2112.05733

Key findings for the stage (summarized)

Основные результаты, полученные в 2021 году:
1) Для оператора почти-Матье:
Предполагалось, что частота раскладывается в цепную дробь с достаточно большими элементами. В этом случае спектр можно изучать с помощью квазиклассических методов. При этом обнаруживаются особые зоны, где асимптотическое описание спектра усложняется. Спектр имеет канторову структуру, особые области расположены у центра спектра и подобных ему точек на интервалах, содержащих спектр и возникающих при его рекуррентном описании. За счет исследования уравнений монодромии в каждой из особых зон найдены асимптотики большинства расположенных там лакун.
2) Для спектральных задач в углах и подобных областях:
Построена координатная асимптотика собственных функций для оператора Шредингера с сингулярным потенциалом, носитель которого находится на ломаной, состоящей из двух лучей. Показано, что старший член асимптотики описывается элементарными функциями (экспонентами и степенями расстояния), исключая так называемые сингулярные направления. В сингулярных направлениях асимптотика содержит специальную функцию -- интеграл Френеля.
Описанное исследование мотивировало построение асимптотик унитарной группы самосопряженного оператора Мелера на больших временах.
3) По исследованию дискретного спектра ПДО нулевого порядка:
Разработаны методы исследования дискретного спектра псевдодифференциальных операторов нулевого порядка и их приложений к спектральных задачам теории упругости. Для случая трехмерного однородного тела, для оператора Неймана-Пуанкаре, имеющего три изолированных точки существенного спектра, найдена асимптотика сходящихся к ним собственных значений; найдена зависимость этой асимптотики от геометрии тела и характеристик материала. Для случая, когда существенный спектр оператора состоит из интервалов (напр., оператор Неймана-Пуанкаре для неоднородного тела), разработан метод исследования дискретного спектра, основанный на сведении к спектральной задаче для оператора Шредингера. Для основного невырожденного случая найдена асимптотика собственных значений.
4) По теории теплицевых операторов (планы на 2021-2022 годы):
Вместе с А.Соболевым была построена спектральная теория и начато построение теории рассеяния для тёплицевых операторов с кусочно-непрерывными символами. Это стимулировало изучение ряда смежных вопросов, связанных с теорией операторов Якоби. Была построена теория рассеяния для специального класса операторов Якоби -- операторов Лагерра. Это естественно привело к открытию новых универсальных соотношений между коэффициентами в асимптотических формулах для произвольных ортогональных полиномов и соответствующей спектральной мерой. Это свою очередь мотивировало еще и построение спектральной теории для дифференциальных операторов второго порядка в случае предельной окружности.
5) Изучалась специальная функция, являющаяся тригонометрическим аналогом гамма-функции Эйлера (не планировалось в заявке). Она имеет очень богатое множество нулей и полюсов на вещественной оси.
Исследовано ее поведение при стремлении комплексной переменной к бесконечности вдоль прямых параллельных вещественной оси. Выяснилось, что оно зависит от теоретико-числовых свойств параметра уравнения (частоты). Описано, типичное асимптотическое поведение. Результат имеет приложения в теории почти периодических операторов.
6) Исследовались адиабатические нормальные волны в задаче о модельном одномерном нестационарном уравнении Шредингера с потенциалом, медленно зависящим от времени (не планировалось сначала). Можно сказать, что это - решения, которые на определенных временах формально получаются при асимптотическом делении переменных. Описана перестройка асимптотики решения, когда решение, локализованное ранее в потенциальной яме, перестает быть локализованным.
7) Изучались квазиклассические асимптотики решений системы конечного числа разностных уравнений на комплексной плоскости (когда в системе уравнений есть малый квазиклассический параметр). Доказано существование решений с естественной квазиклассической асимптотикой на областях, удовлетворяющих некоторой системе геометрических условий. Построены аналоги топологической фазы.

Academic ownership of participants (text description)

1) Оператор почти-Матье: исполнитель: профессор А.А.Федотов
2) Спектральные задачи в углах: исполнитель: профессор М.А.Лялинов
3) Bсследования дискретного спектра ПДО нулевого порядка: исполнитель: профессор Г.Розенблюм.
4) Задачи теории теплицевых операторов : исполнитель: профессор Д.Р.Яфаев.
5) Специальная функция, являющаяся тригонометрическим аналогом гамма-функции Эйлера : исполнители: студентка И.И.Лукашева, профессор А.А.Федотов
6) Нестационарное уравнение Шредингера с потенциалом, медленно зависящим от времени : исполнители: студент В.А.Сергеев, профессор А.А.Федотов.
7) квазиклассические асимптотики решений системы разностных уравнений : исполнитель: аспирант Е.В.Щетка.

Transfer of the full copy of the report to third parties for non-commercial use: permitted/not permitted

не разрешается

Check of the report for improper borrowing in external sources (plagiarism): permitted/not permitted

разрешается
AcronymRFBR_a_2020 - 2
StatusFinished
Effective start/end date23/03/2128/12/21