Project Details

Description

4.3.7.1.Научная проблема, на решение которой направлен проект. Одной из центральных проблем анализа и управления динамикой систем различной природы является обоснование и обеспечение глобальной устойчивости или выявление возможных установившихся (предельных) поведений системы после переходных процессов. Другими словами, это проблема локализации и анализа аттракторов, в том числе соответствующих различным типам синхронизации в сетевых моделях [1-3]. Это свойство называется мультиустойчивостью, им обладают системы, которые не являются ни глобально устойчивыми, ни неустойчивыми, а состояние которых может притягиваться к различным аттракторам под внешними воздействиями. Мультиустойчивые системы чувствительны к влиянию шума, а также выбору начальных данных и параметров системы. В таких системах можно наблюдать неожиданные переключения состояния системы к нежелательным или неизвестным аттракторам, особенно если у этих систем них есть аттракторы с узкими областями притяжения или не выявленные аттракторы. Такие переключения могут приводить к катастрофическим последствиям - неожиданным изменениям климата, финансовым кризисам, выходу из строя инженерных устройств. Для анализа мультиустойчивых систем особенно важным является разработка методов достоверного численного анализа и моделирования динамики. Анализ аттракторов (их отсутствие или наличие, расположение и т.п.) играет важную роль как в классических теоретических проблемах (среди которых 16-я проблема Гильберта, проблема Лурье, гипотезы Айзермана, Калмана, Маркуса-Ямабе и другие), так и при анализе актуальных практических систем [1]. Самовозбуждающиеся аттракторы (self-excited attractors) могут быть легко обнаружены и визуализированы в численных экспериментах траекториями с начальными данными из окрестностей неустойчивых состояний равновесия. Напротив, скрытые аттракторы (hidden attractors) не связаны с состояниями равновесия, а их области притяжения ``скрыты'' в фазовом пространстве системы. Вместе с тем климат, различные экосистемы, головной мозг, связанные лазеры, финансовые рынки и многие другие объекты и процессы моделируются сложными динамическими и сетевыми системами, в которых сосуществуют различные аттракторы. Значимость проблемы выявления скрытых аттракторов для систем управления также вытекает из ее связи с классическими задачами определения точных границ глобальной устойчивости, анализа зазора между необходимыми и достаточными условиями глобальной устойчивости и их сближения, а также выделения классов систем управления, для которых эти условия совпадают. На практике переход состояния системы управления к скрытому аттрактору, вызванный внешними возмущениями, приводит к нежелательным режимам работы и часто является причиной аварий и катастроф. Поэтому численный поиск скрытых аттракторов и определение начальных данных для их визуализации в общем случае оказывается актуальной задачей, причем весьма нетривиальной [3]; над ее решением в настоящее время активно работают ученые разных стран: https://scholar.google.com/scholar?q=hidden+attractor.На современном этапе развития вычислительной техники и нелинейной динамики одним из актуальных подходов к решению этой проблемы является разработка эффективных аналитико-численных методов, сочетающих продуктивные аналитические подходы, вычислительные мощности современных ЭВМ и искусственный интеллект для анализа и синтеза систем с требуемой динамикой. Разработка именно таких методов в первую очередь мотивирована заметным усложнением анализируемых на практике динамических моделей, которые часто содержат как сложные многомерные и бесконечномерные нелинейные компоненты, так и сетевые, распределенные, мультиагентные системы, и функционируют в условиях запаздывания управляющих сигналов и неидеальности связей между узлами. В результате существующие аналитические методы либо не позволяют получить эффективные критерии устойчивости, либо приводят к излишне консервативными условиям, в то время как чисто численные методы могут приводить к неверным выводам [3,4].Так, на ведущей конференции по управлению IEEE Conference on Decision and Control (California, США, 1997) был представлен доклад, посвященный моделированию системы управления и развития аварийного процесса многоцелевого истребителя 5-го поколения YF-22 Lockheed/Boeing из-за возникновения колебаний самолета при посадке. В нем сделан вывод о том, что “поскольку устойчивость в моделировании не гарантирует устойчивость в физической системе управления, требуется более глубокое теоретическое изучение” [5]. Другим примером является применение в научной школе Г.А. Леонова аналитико-численных методов для анализа причин аварии на Саяно-Шушенской ГЭС в 2009, результатом которого явилось выявление сценария возникновения разрушительных колебаний в замкнутой динамической модели СШ ГЭС, отражающий аналогично модели Вышнеградского динамику управления турбоагрегатом [6].Значительными результатами в области анализа динамики систем, полученными на основе построения аналитико-численных процедур и подходов, являются компьютерные доказательства (computer-assisted proof) существования хаотических аттракторов [7-9], а также обнаружение скрытых аттракторов [1,10,11] в системах лоренцевского типа. Также соединение аналитических и численных подходом позволило в последние годы существенно продвинуться в разработке конструктивных методов достоверного определения различных характеристик динамики (бифуркации, бассейны притяжения аттракторов, размерность, энтропия и другие) [12, 13]. Это направление особенно актуально в связи с тем, что часто математические предположения (например, эргодичность, гиперболичность и тд), используемые для построения строгих аналитических методов, трудно проверить на практике [13]. Для многомерных динамических систем в последние годы направления в области анализа и предсказания динамики сложных систем, которые связаны с современными аналитико-численными процедурами, основанными на технологиях искусственного интеллекта, машинного обучения и нейронных сетей [14-16]. Библиография1. D. Dudkowski, S. Jafari, T. Kapitaniak, N. Kuznetsov, G. Leonov, A. Prasad, Hidden attractors in dynamical systems, Physics Reports, 637, 2016, pp. 1-50 (http://dx.doi.org/10.1016/j.physrep.2016.05.002)2. D. Dudkowski, N. Kuznetsov, T. Mokaev, Chimera states and hidden attractors, Physics of Life Reviews, Vol. 28, 2019, pp. 131-133 (https://dx.doi.org/10.1016/j.plrev.2019.02.005)3. Н.В. Кузнецов, Теория скрытых колебаний и устойчивость систем управления, Известия РАН. Теория и системы управления, №5, 2020 (http://apcyb.spbu.ru/wp-content/uploads/2020-rus-TISURAN-Theory-hidden-oscillations-Control-systems.pdf)4. N. Kuznetsov, G. Leonov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, Hidden attractors in dynamical models of phase-locked loop circuits: limitations of simulation in MATLAB and SPICE, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Vol. 51, 2017, pp. 39-49 (http://dx.doi.org/10.1016/j.cnsns.2017.03.010)5. T. Lauvdal, R. Murray, T. Fossen, Stabilization of Integrator Chains in the Presence of Magnitude and Rate Saturations: a Gain Scheduling Approach // IEEE Control and Decision Conference. San Diego, 1997. V.4. P.4404–4005.6. Г.А. Леонов, Н.В. Кузнецов, Е.П. Соловьева. Математическая модель гидротурбины, генератора и системы управления Саяно-Шушенской ГЭС, ДАН. 2016. Т.466. С.654–659.7. W. Tucker, The Lorenz attractor exists. Comptes Rendus de l'Academie des Sciences - Series I - Mathematics 328(12), 1197-1202 (1999).8. I. Stewart, Mathematics: The Lorenz attractor exists. Nature 406(6799), 948-949, 2000.9. T. Zhou, Y. Tang, G. Chen, Chen's attractor exists. International Journal of Bifurcation and Chaos, 14(09), pp.3167-3177, 2004.10. N. Kuznetsov, G. Leonov, T. Mokaev, A. Prasad, M. Shrimali, Finite-time Lyapunov dimension and hidden attractor of the Rabinovich system. Nonlinear Dynamics 92(2), 267{285 (2018). DOI 10:1007/s11071-018-4054-z11. G. Chen, N. Kuznetsov, G. Leonov, T. Mokaev, Hidden attractors on one path: Glukhovsky-Dolzhansky, Lorenz, and Rabinovich systems. International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering 27(8) (2017). art. num. 1750115.12. M. Dellnitz, O. Junge, Set oriented numerical methods for dynamical systems. In Handbook of Dynamical Systems, volume 2, pages 221-264. Elsevier Science, 2002.13. N. Kuznetsov, V. Reitmann, Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation (Dedicated to Gennady Leonov), Springer, 2021, https://www.springer.com/gp/book/9783030509866.14. J. Pathak, Z. Lu, B. Hunt, M. Girvan, E. Ott, Using machine learning to replicate chaotic attractors and calculate Lyapunov exponents from data. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 27(12), p.121102, 2017.15. T. Arcomano, I. Szunyogh, J. Pathak, A. Wikner, B. Hunt, E. Ott, A Machine Learning‐Based Global Atmospheric Forecast Model. Geophysical Research Letters, 47(9), p.e2020GL087776, 2020.16. A. Choudhary, J. Lindner, E. Holliday, S. Miller, S. Sinha, W. Ditto. Physics-enhanced neural networks learn order and chaos. Physical Review E, 101(6), p.062207, 2020.17. G. Chen, Intelligent identification and control of chaotic dynamics, In 1996 IEEE International Symposium on Circuits and Systems. Circuits and Systems Connecting the World. ISCAS 96, 3, 1996, 5-8.18. G. Chen, X. Dong, Identification and control of chaotic systems: An artificial neural network approach. In Proceedings of ISCAS'95-International Symposium on Circuits and Systems, 2, 1995, 1177-1182.19. E. Sanchez, J. Perez, G. Chen, Using dynamic neural networks to generate chaos: An inverse optimal control approach. International Journal of Bifurcation and Chaos, 11(03), 2001, 857-863.20. I. Zelinka, S. Celikovský, H. Richter, G. Chen, Evolutionary algorithms and chaotic systems, Springer, 2010.В области интеллектуальной обработки информации актуально рассматривать приемы разложения потоков в случаях сплайнов лагранжевого и эрмитового типа с использованием потока значений функции, ее производных и разностных отношений, разрабатывать и применять адаптивные сетки при исследовании числовых информационных потоков сложной структуры, исследовать вопросы распараллеливания получаемых алгоритмов. БиблиографияDem’yanovich, Y.K. Splines of Variable Approximation Order and Their Wavelet Decompositions (2020) Journal of Mathematical Sciences (United States), 244 (3), pp. 401-418.Dem'Yanovich, Y.K., Fefelov, A.A. Finding and visualizing of limit cycles (2020) CEUR Workshop Proceedings, 2556, pp. 108-111. Dem’yanovich, Y.K. Algorithms for Wavelet Decomposition of of the Space of Hermite Type Splines (2019) Journal of Mathematical Sciences (United States), 242 (1), pp. 133-148. Dem'yanovich, Y.K. Parallelization of spline-wavelet decomposition (2019) WSEAS Transactions on Mathematics, 18, pp. 241-249. Dem’Yanovich, Y.K., Burova, I.G., Evdokimova, T.O., Lebedeva, A.V., Doronina, A.G. Embedded spaces of hermite splines (2019) WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics, 14, pp. 222-234. При решении задач анализа, управления и наблюдения систем со сложной, в том числе хаотической, динамикой одна из ключевых компонент интеллектуальной обработки информации связана с минимизацией информационного потока, фактически используемого для решения. Актуальность такого подхода определена в частности тем, что одно из общепризнанных проявлений сложности системы состоит в наличии принципиальных проблем в предсказании ее поведения в связи с чем данные о ее фактическом поведении систематически содержат существенную новую информацию и в этом смысле такую систему можно трактовать как источник информации незатухающей интенсивности. Впрочем в области динамических систем задача минимизации информационного потока имеет и более широкую мотивацию, связанную в частности с активным развитием и широким внедрением сетевых технологий в различных сферах. Такие технологии уже играют ведущую роль во многих областях, включая управление производственными и военными системами, автомобиле- и авиастроение, робототехнику, беспроводные сети сенсоров и эффекторов, встроенные и телемеханические системы и др. Более того, сетевые технологии признаны стратегическим направлением прорыва в развитии систем управления [1-5].Разработка сетевых технологий управления связана с необходимостью преодоления целого ряда специфических проблем, вытекающих из определяющей черты таких технологий: деления ресурсов сети (физической линии связи, устройства памяти, процессора и т.п.) между многими пользователями. Среди этих проблем - ограничение количества информации (в битах), которое можно передать/принять/обработать в данном узле сети за определенный отрезок времени, их ненадежное, нерегулярное или лимитированное обслуживание, непредсказуемые задержки в каналах связи и вычислительных модулях, потери пакетов, необходимость квантования данных, рассинхронизация элементов и др.Отмеченные неидеальности все чаще проявляются в степени, существенной для процессов управления, образуя своего рода «узкое место» [1-5]. Сценарии такого рода возникают на регулярной основе например, ввиду того, что многие факторы, стимулирующие применение сетевых технологий (удешевление компонент, их доступность, простота инсталляции, и т. п.), одновременно стимулируют рост числа компонент и связей сети и приводят к ситуации, когда общие ресурсы сети, сами по себе значительные, делятся между не менее значительным числом «пользователей». Впрочем, ограничения битовой скорости передачи данных могут иметь и иное происхождение. Например, надежная беспроводная связь под водой остается сложной проблемой, а дальняя космическая связь поглощает много энергии, что стимулирует решение задачи на счет передачи минимально необходимого для этого числа бит информации. В качестве другой иллюстрации приведем соображения скрытности, в силу которых интенсивность радиообмена между членами многоагентного роботизированного ансамбля желательно снизить до минимума.Обсуждаемые проблемные факторы на практике доказали свою способность критически подорвать качество работы системы управления, вплоть до отказов, и требуют внимания уже на стадии её разработки [1-5]. Классическая математическая теория управления предлагает лишь изолированные рецепты против некоторых из этих факторов. Вместе с тем более глубокий уровень их интеграции требует комплексного анализа и, как следствие, новых методов, которые дали бы инженеру в руки эффективный аппарат купирования соответствующих негативных последствий. Классические математические теории управления и связи в целом не демонстрируют такой интеграции. Даже между собой они имеют лишь незначительный контакт. Классическая теория управления в основном исходит из предположения идеального канала связи с номинально сколь угодно высокой битовой скоростью передачи данных и мгновенности вычислений. Со своей стороны, математическая теория информации рассматривает неидеальные каналы связи, будучи относительно индифферентной к цели передачи данных.Указанные обстоятельства мотивируют новую междисциплинарную главу математической теории управления и динамических систем, в которой вопросы управления, наблюдения, коммуникации и вычислений изучаются в единстве и которую идентифицируют как одно из ключевых направлений её современного развития [1-7]. Систематические исследования в этой области были начаты на рубеже тысячелетий, при наличии отдельных более ранних результатов. На данный момент в этой области наиболее исследован класс линейных систем. Вместе с тем известно, что класс линейных моделей не позволяет адекватно отразить ряд существенных динамических эффектов. Однако развитие обсуждаемой междисциплинарной главы в область нелинейных систем остается во многом открытой проблемой, которой предполагается заняться в рамках данного проекта. Понятие «канал связи» обычно воспринимается как устройство передачи информации через пространство. Однако еще классики теории информации отмечали, что рассматриваемые в этой теории математические модели равным образом охватывают и каналы передачи через время, то есть системы записи и хранения информации. Такой взгляд раскрывает дополнительную грань отношений обсуждаемой области с общими вопросами исследования сложной нелинейной динамики. Например, развиваемые в обсуждаемой области алгоритмические идеи несут потенциал применения для эффективной записи и хранения результатов экспериментального или численного наблюдения динамики сложного объекта. Как правило, это сопряжено с обработкой значительных потоков информации, в связи с чем повышение ее эффективности является актуальной задачей. Библиография[1] P. Antsaklis and J. Baillieul. Special issue on the technology of networked control systems. Proceedings of the IEEE, 95(1), 2007.[2] M.S. Mahmoud. Control and Estimation Methods over Communication Networks. Springer, Heidelberg, 2014.[3] A. S. Matveev and A. V. Savkin. Estimation and Control over Communiation Networks. Birkhauser, Boston, 2009.[4] R. Murray. Control in an information rich world: Report of the panel on future diretions in control, dynamics, and systems, 2002.[5] S. Yuksel and T. Basar. Stochastic Networked Control Systems: Stabilization and Optimization under Information Constraints. Birkhauser, Boston, 2013.[6] B.R. Andrievsky, A.S. Matveev, and A.L. Fradkov. Control and estimation under information constraints: Toward a unified theory of control, computation and communications. Automation and Remote Control, 71(4):572–633, 2010[7] Теория управления. Дополнительные главы. Ред. Чл.-корр РАН Д.А. Новикова, Ленанд, Москва, 2019.4.3.7.2.Актуальность проблемы, научная значимость решения проблемы.Математическое моделирование динамики и определение устойчивости в технических системах, а также развитие методов наблюдения и управления такими системами, является актуальнейшим направлением в научном и технологическом развитии любого государства, которое стремится занять лидирующие позиции в современном мире. Изучение предельных динамических режимов (аттракторов) и устойчивости необходимо как в классических теоретических, так и в актуальных практических задачах. Целями проекта являются разработка эффективных аналитико-численных процедур для достоверного анализа динамики для определения устойчивости и локализации аттракторов и развитие интеллектуальных подходов к обработке информации в сетевых системах, а также применение разработанных методов в рамках реализации Стратегии научно-технологического развития РФ к актуальным задачам научно-технологическим задачам.Актуальность поставленных целей исследования и планируемого научного исследования, а также значимость ожидаемых результатов для реализации приоритетов Программы научно-технического развития РФ и ответов на большие вызовы заключаются в следующем:1. Для решения задач Программы в части “получения новых знаний за счет развития и поддержки фундаментальных исследований, обеспечивающих готовность страны к большим вызовам и своевременной оценке рисков” в проекте будет продолжено развитие методов теории скрытых колебаний, современного этапа развития фундаментальной теории колебаний Андронова, которые уже показали свою эффективность для математического объяснения причины и выработки рекомендаций по предотвращению таких аварий и техногенных катастроф, как авария на Саяно-Шушенской ГЭС (Г.А. Леонов, Н.В. Кузнецов, Е.П. Соловьева, Математическая модель гидротурбины, генератора и системы управления Саяно-Шушенской ГЭС, Доклады академии наук, 466(6), 2016, 654-659), поломка шельфовых буровых установок (Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Kiseleva M.A., Solovyeva E.P., Zaretskiy A.M., Hidden oscillations in mathematical model of drilling system actuated by induction motor with a wound rotor, Nonlinear Dynamics, 77(1-2), 2014, pp. 277-288 (http://dx.doi.org/10.1007/s11071-014-1292-6)), аварий летательных аппаратов (B. Andrievsky, N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, Methods for suppressing nonlinear oscillations in astatic auto-piloted aircraft control systems. Journal of Computer and Systems Sciences International, 56(3), 2017, 455-470; Г.А. Леонов, Н.В. Кузнецов, О подавлении флаттера в модели Келдыша, Доклады Академии наук, 482(1), 2018, 33-37), отказ систем синхронизации в телекоммуникационных и компьютерных архитектурах (R.E. Best, N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev, Tutorial on dynamic analysis of the Costas loop, IFAC Annual Reviews in Control, 42, 2016, pp. 27-49; Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V., Hidden attractors in dynamical models of phase-locked loop circuits: limitations of simulation in MATLAB and SPICE, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 51, 2017, pp. 39-49). Будет также продолжено исследование фундаментальный информационной характеристики динамических систем, которая характеризует наименьшую битовую скорость передачи данных, необходимую и достаточную для достижения определенной цели управления или наблюденипя применительно к рассматриваемой системе (A. S. Matveev and A. V. Savkin. Estimation and Control over Communication Networks. Birkhäuser, Boston, 2009; A.S. Matveev and A. Y. Pogromsky. Observation of nonlinear systems via finite capacity channels: constructive data rate limits. Automatica, 70:217–229, 2016; A.S. Matveev and A. Y. Pogromsky. Observation of nonlinear systems via finite capacity channels, part II: Restoration entropy and its estimates. Automatica, 103:189–199, 2019.) 2. Для достижения ожидаемых результатов реализации Программы в части “повышения экономической и технологической независимости государства” в рамках проекта на основе примеров со скрытыми колебаниями будут реализовываться специализированные примеры для валидации программного обеспечения, используемого инженерами при проектировании систем управления динамикой. О необходимости такой работы для ПО проектирования летательных аппаратов говорил в своем пленарном докладе на конференции Поляховские чтения 2018 года говорил директор ЦАГИ академик С.Л. Чернышов; для ПО проектирования систем автоподстройки в телекоммуникациях и компьютерных архитектурах такую задачи поставил известных американский инженер С. Голдман в своей монографии 2007 года (Кузнецов Н.В., Пленарный доклад “Теория скрытых колебаний”, 11-ая Российская мультиконференция по проблемам управления, 2018; Кузнецов Н.В., Приглашенный секционный доклад “Теория скрытых колебаний и устойчивость систем управления”, XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, 2019). Также предполагается развитие и аппробация эффективных методов кодирования и передачи информации в системах управления и наблюдения сложными нелинейными динамическими системами непосредственно отталкивающихся от минимальной битовой скорости передачи данных, требуемой для решения задачи (Q. Voortman, A. Pogromsky, A. Matveev, H. Nijmeijer, A data rate constrained observer for discrete nonlinear systems, 57th IEEE Conference on Decision and Control, Miami Beach, FL, USA, December 17-19, 2018, pp. 3355-3360). 3. Для достижения целевых индикаторов и показателей Программы в части “доля научных публикаций российских исследователей, индексируемых в международных системах научного цитирования, размещенных через национальные журналы” подпрограммы 5 "Инфраструктура научной, научно-технической и инновационной деятельности" в рамках проекта планирует подготовка и публикация обзорных статей по актуальным направлениям исследований для дальнейшего продвижение в рейтинге Scopus электронного журнала “Дифференциальные уравнения и процессы управления”, главным редактором которого является руководитель проекта и который в прошлом году удалось включить в Scopus (http://diffjournal.spbu.ru/RU/editorial_staff.html). 4. Для достижения целевых индикаторов и показателей Программы в части “доля статей в соавторстве с иностранными учеными в общем числе публикаций российских авторов, индексируемых в международных системах научного цитирования” подпрограммы 4 "Формирование и реализация комплексных научно-технических программ по приоритетам Стратегии научно-технологического развития Российской Федерации, а также научное, технологическое и инновационное развитие по широкому спектру направлений" в рамках проекта планируется продолжить сотрудничество с такими известными учеными из-за рубежа как Гуанронг Чен (Гонконг, IEEE Fellow, h=119;), Мариус Данка (Румыния, h=15), и другими. Также в проекте будет продолжено участие молодых исполнителей проекта в совместной российско-финской научно-образовательной программе Математико-механического факультета (СПбГУ) и факультета Информационных технологий (University of Jyväskylä, Финляндия), координатором которой является руководитель проекта и в которой за прошедшие годы при поддержке программы стипендий Президента РФ для обучения за рубежом и Академии наук Финляндии было защищено более 13 диссертаций (https://www.jyu.fi/en/news/archive/2017/12/tiedote-2017-12-18-14-50-34-744897). 5. Для достижения целевых индикаторов и показателей Программы в части “количество российских университетов, входящих не менее 2 лет подряд в топ-100 глобальных рейтингов университетов ” подпрограммы 2 "Обеспечение глобальной конкурентоспособности российского высшего образования" планируется публикация статей в ведущих журналах по автоматизации и управлению для сохранения дальнейшего укрепления позиций СПбГУ в Шанхайском рейтинге: так в 2018 г. СПбГУ, первым среди российских ВУЗов, вошел в топ-50 Шанхайского предметного рейтинга по в области «Автоматизация и управление» - занял в этом рейтинге 32-е место в мире и 7-ое место в Европе, сразу после the University of Cambridge, UK (https://spbu.ru/news-events/novosti/spbgu-v-chisle-luchshih-vuzov-mira-po-versii-arwu).6. Необходимо отметить, что анализ информации актуален и имеет высокий уровень значимости для интерактивного взаимодействия между человеком и компьютерными телекоммуникационными средствами при решении сложных задач предсказания и анализа технологических и природных явлений, а также в задачах управления и наблюдения сложными динамическими системами.Как известно, объемы информационных потоков постоянно увеличиваются, соответственно растут и объемы используемых ресурсов при обработке этих потоков. Получаемые исходные данные требуют постоянного уточнения, а сами данные все чаще являются потоком информационных структур, представляющих динамическое развитие того или иного процесса.Такие потоки оказываются массивами огромной длины, которые можно быстро обрабатывать лишь в случае наличия колоссальных компьютерных ресурсов, обладающих большим быстродействием, огромной памятью, мощными каналами связи. Этими потоками часто являются не только исходные данные, но также и окончательные результаты вычислений и результаты промежуточных вычислений.Актуальна правильная обработка этих потоков, которая характеризуется адаптивностью алгоритмов, выделяющих основную часть потока, направленным округлением, адекватностью интерпретация результатов, исправлением ошибок, локальным уточнением вычислений и распараллеливанием алгоритмов. Правильная обработка упомянутых потоков являются залогом эффективного использования компьютерных ресурсов и получения надежного результата при численном решении рассматриваемых задач.Источники исходных информационных потоков чаще всего можно интерпретировать, как результат излучения от объектов различной конфигурации и размерности. Излучение точечного объекта обычно дискретизируется и оцифровывается для обработки на современных компьютерах, так что исходным информационным потоком в этом случае является числовая последовательность. Часто эта последовательность имеет гигантскую длину, и ее передача представляет собой сложную проблему. Для оценки содержательной части исходного информационного потока актуальным является выделение основной информации в виде потока значительно меньшей длины и передача его потребителю. Потребитель оценивает значимость информации, анализируя полученный основной поток. После анализа потребитель выбирает одно из трех действий: 1) удовлетворяется полученной информацией, 2) отказывается от использования упомянутой информации, 3) обращается к источнику с требованием уточнить информацию.Актуальным является малая загрузка канала связи в случаях 1) и 2), поскольку в этих случаях передается лишь основной поток, который обычно имеет небольшую длину. В случае 3) ситуация зависит от свойств алгоритма расщепления и от потребностей потребителя. Если потребителю необходимо уточнить лишь часть полученных данных, а алгоритм обладает свойством локальности, то чаще всего потребуется передать лишь часть уточняющего потока, что также приведет к актуальной экономии компьютерных ресурсов и ресурсов канала связи.В случае протяженного источника -- одномерного интервала, двумерной области (например, поверхности в трехмерном пространстве) или трехмерной области (например, сферического слоя) – ситуация значительно усложняется. В этом случае важно учитывать не только временную, но и пространственные составляющие исходного потока. Актуальным становится использование структуры исходного потока при расщеплении на основной и уточняющий потоки с целью увеличения информативности основного потока и сокращения его объема (это достигается поддержанием его асимптотической оптимальности относительно N-поперечника стандартных компактов). Актуальной оказывается локальность алгоритмов и результирующих потоков (при локальном пространственном или временном изменении исходного потока должны получаться лишь локальные изменения результирующих потоков). Упомянутая локальность важна при компьютерной реализации предлагаемых алгоритмов, в особенности, на параллельных вычислительных системах с обычно реализованной на них виртуальной топологией «решетка».Отметим также актуальность упомянутых выше априорных оценок степени сжатия информации и степени эффективности адаптивности применяемых алгоритмов; такие оценки позволяют заранее оценить возможности компьютерной реализации рассматриваемых задач.4.3.7.3.Конкретная задача в рамках проблемы, на решение которой направлен проект, ее масштаб. Исследование нелинейной динамики и поиск скрытых колебаний методами эволюционных вычислений.Задача о локализации предельных множеств в фазовом пространстве динамической системы является важной частью исследования в теории нелинейной динамики. Вопрос о существования периодических колебаний был достаточно просто разрешим в начальный период развития этой теории. В частности, структура многих прикладных систем задавалась таким образом, чтобы наблюдаемые в них колебательные процессы были самовозбуждающимися то есть возбуждались из окрестности неустойчивых состояний равновесия. В 1963 году известный американский физик и метеоролог, Эдвард Лоренц, опубликовал статью [1], в которой в предложенной им математической модели, описывающей процесс конвекции жидкости в двумерном слое (позднее названной системой Лоренца), были численно обнаружены хаотические самовозбуждающие колебания. Позднее, подобные самовозбуждающиеся колебания также были обнаружены и в других известных динамических системах (Чуа, Рёсслера, Лу и т. д.). В фазовом пространстве систем таким самовозбуждающимся колебаниям соответствовали самовозбуждающиеся аттракторы [2-4], бассейны притяжения которых пересекались с малыми окрестностями неустойчивых состояний равновесия.Позднее были открыты другие типы аттракторов, названные скрытыми, бассейны притяжения которых не пересекаются с малыми окрестностями состояний равновесия. Из-за этого поиск и локализация таких аттракторов является трудной задачей, для решения которой необходимо разрабатывать специальные вычислительные процедуры. Проблема поиска скрытых аттракторов и скрытых колебаний возникает, например, при моделировании систем управления угловым положением летательных аппаратов (задача синтеза «антивиндап»-коррекции) [5] и в моделировании буровых установок [6].Одним из подходов к решению этой проблемы является применение эволюционных алгоритмов [7-9] — эвристических алгоритмов поиска, используемых для решения задач оптимизации и моделирования путём случайного подбора, комбинирования и вариации искомых параметров. Этот подход, как следует из названия, инспирирован процессами и механизмами биологической эволюции, происходящими в живой природе: естественном отбором, конкуренцией среди индивидуумов за ограниченные ресурсы, доминированием наиболее сильных особей над слабыми. Организованные таким образом, эволюционные алгоритмы распределяют характеристики адаптации путем итерационного процесса, который аккумулирует и улучшает перспективные наборы с помощью метода проб и ошибок. Варианты решения задачи представляют собой члены виртуальной популяции, стремящейся к выживанию в окружении, заданном целевой функцией конкретной проблемы. В каждом случае эволюционный процесс совершенствует популяцию индивидуумов, обычно, используя модели механизмов эволюции, такие как генетическая рекомбинация и мутация. Эволюционные алгоритмы обеспечивают решение многих трудноразрешимых оптимизационных проблем реального мира, к которым могут быть неприменимы традиционные методы из-за непрерывности пространства поиска, неопределенных аргументов и значения функции. Они являются разновидностью более общей области эволюционных вычислений, с помощью которых решаются оптимизационные задачи с использованием методов естественной эволюции, таких как наследование, мутации и отбор.За последние 15 лет было продемонстрировано, что эволюционные алгоритмы могут быть успешно использованы в управлении детерминированной хаотической динамикой при ее идентификации или синтезе [9]. Управление хаотическими динамическими системами является интересной областью исследований, активно развивающейся в течение последних десятилетий. В качестве примера можно вспомнить статью [10], где были опубликованы основные идеи об управлении хаосом, а также об управлении системами решеток связанных отображений (Coupled Map Lattices, CML), что является более сложной задачей и обычно предполагает некоторую предварительную информацию для получения закона управления (для классических контроллеров). Одно из первых и важных исследований использования эволюционных алгоритмов для контроля систем CML было описано в работе [11].В рамках данного проекта, будут разработаны и реализованы новые подходы для исследования нелинейной динамики и поиска скрытых колебаний в математических моделях сложных динамических систем методами эволюционных вычислений.Cписок литературыE. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci.. 1963. Vol. 20(2). P. 130–141.G. Leonov, N. Kuznetsov, Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits, International Journal of Bifurcation and Chaos, 23(1), 2013, art. no. 1330002 (http://dx.doi.org/10.1142/S0218127413300024).D. Dudkowski, S. Jafari, T. Kapitaniak, N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, A. Prasad, Hidden attractors in dynamical systems, Physics Reports, 637, 2016, pp. 1-50 (http://dx.doi.org/10.1016/j.physrep.2016.05.002). Н.В. Кузнецов, Теория скрытых колебаний и устойчивость систем управления, Известия РАН. Теория и систему управления, №5, 2020 (http://apcyb.spbu.ru/wp-content/uploads/2020-rus-TISURAN-Theory-hidden-oscillations-Control-systems.pdf).B.R. Andrievsky,N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, A.Yu. Pogromsky, Hidden Oscillations in Aircraft Flight Control System with Input Saturation, IFAC Proceedings Volumes(IFAC-PapersOnline), 2013, Vol. 5, no. 1., pp. 75–79.M.A. Kiseleva, N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, P. Neittaanmaki, Drilling systems failures and hidden oscillations, IEEE 4th International Conference on Nonlinear Science and Complexity, NSC 2012 - Proceedings., 2012., pp. 109–112.K. De Jong, Evolutionary Computation: A Unified Approach. Bradford Book, 2006, 286 p.R. Storn, K. Price, Differential evolution – a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces, Journal of global optimization,11(4), 1997, pp. 341-359. I. Zelinka, S. Celikovský, H. Richter, G. Chen, Evolutionary algorithms and chaotic systems, Springer, 2010.E. Ott, C. Grebogi, J.A. Yorke, Controlling chaos. Phys. Rev. Lett. 64, 1990, pp. 1196–1199. I. Zelinka, R. Senkerik, E. Navratil, Investigation on evolutionary optimization of chaos control. Chaos, Solitons & Fractals, 40(1), 2009, pp. 111-129.Разработка новых адаптивных сплайн-вейвлетных алгоритмов параллельной обработки информации, поступающей от источников сложной структуры.В области интеллектуальной обработки информации необходимо разработать алгоритмы сжатия и восстановления числовых информационных потоков, которые выгодно отличаются по скорости и по объему требуемой памяти от классических алгоритмов вейвлетных разложений, рассмотреть интеллектуальную обработку потоков графической информации. Предполагается построение адаптивных одномерных и двумерных сеток методами искусственного интеллекта на основе анализа исходного потока в реальном масштабе времени с использование различных типов и методов построения сплайнов и сплайн-вейвлетов. Предполагается использовать искусственный интеллект, который подразумевает итеративную разработку и обучения, а именно, метод вычислительного ИИ - эволюционные вычисления.Цель проекта состоит в разработке и обосновании алгоритмов обработки цифровых потоков сложной структуры. Предполагается, что исходный поток ассоциирован с источником известной конфигурации. В соответствии с этой конфигурацией будет сформировано исходное линейное сплайновое (конечно-элементное) пространство, координатные функции которого будут получены из соответствующих аппроксимационных соотношений. Эти координатные функции ассоциированы с узлами сетки (в одномерном случае), с вершинами триангуляции или симплициального подразделения (в двумерном и трехмерном случаях соответственно). Исходному потоку сопоставляется элемент упомянутого исходного пространства, в качестве которого фигурирует линейная комбинация координатных функций; ее коэффициентами служат компоненты (числа) рассматриваемого исходного потока. Назовем так полученный элемент исходным. Величины упомянутых компонент определяют зоны укрупнения сетки (триангуляции, симплициального подразделения), после чего (с помощью соответствующих аппроксимационных соотношений) определяются координатные функции на указанном укрупнении; их линейная оболочка определяет линейное пространство, вложенное в исходное. Вложенное пространство называем основным. Дальше определяется операция проектирования исходного пространства на основное. Эта операция может определяться по-разному, но имеется подход, позволяющий определять ее «простым» способом. В результате получается вейвлетное (всплесковое) разложение исходного пространства на основное и дополнительное, которое называют пространством вейвлетов. Набор коэффициентов разложения проекции исходного элемента по координатным функциям называется основным потоком. Основной поток имеет меньший объем, чем объем исходного. В практически важных случаях эта разница чрезвычайно велика.Основной поток можно рассматривать как результат сжатия исходного. Если не принимать во внимание вторую компоненту – проекцию на пространство вейвлетов – то такое сжатие является сжатием с потерей информации. Однако использование вейвлетной компоненты позволяет полностью восстановить исходный поток. Отметим, что благодаря локальности координатных функций достаточно легко распараллелить получаемые указанным приемом алгоритмы.Применение технологий машинного обучения и резервуарных нейронных сетей для анализа и предсказания хаотического поведения динамических системАнализ и эффективное управление динамикой системы в окрестности аттрактора требует определения его качественных и количественных характеристик. Для стационарных и периодических аттракторов в качестве таких характеристик используют собственные числа, мультипликаторы, фазу и амплитуду. Для хаотических аттракторов используются различные размерностные и энтропийные характеристики (см., например, [1-4]), среди которых наиболее часто применяются характеристики, основанные на ляпуновских показателях (ляпуновская размерность, топологическая энтропия и другие). На практике при вычислении таких характеристик для различных начальных данных, интервалов времени и используемых алгоритмов могут получаться различные значения. Это связано, как ограниченностью возможностей достоверного вычисления хаотических траекторий (вследствии ошибок численных методов, ошибок округления), так и с отсутствием свойств отслеживания (гиперболичности) и эргодических свойств для всех начальных данных [2, 5-7]. В проекте будет показана необходимость доработки известных алгоритмов вычисления ляпуновских показателей для достоверной оценки ляпуновской размерности [2,7].Также в проекте будет исследована возможность применения резервуарных вычислений (reservoir computing) [8] для задачи достоверной оценки размерностных характеристик хаотических аттракторов на больших интервалах времени. Резервуарные вычисления представляют собой специальный тип нейронных сетей, структура которых значительно упрощает и ускоряет машинное обучение. Классические нейронные сети, прямые и рекуррентные, состоят из входного вектора, нескольких слоев нейронов, соединенных между собой определенным образом, и выходного вектора. Каждый нейрон - это некоторая функция от линейной комбинации входов (наиболее распространены -- логистическая и линейная, хотя есть и более экзотические варианты). Процесс обучения сети - это уменьшение ошибки выхода сети по отношению к ожидаемому выхода обучающей выборки. Задача уменьшения или оптимизации решается путем подгонки коэффициентов линейной комбинации на каждом их нейронов при помощи хитрых модификаций градиентного спуска. Когда слоев много (а для сложных нелинейных функций и сетей с памятью их получается немало), то тренировка сети представляет собой сложную задачу. Резервуарные вычисления предлагают несколько другой способ. Исследователи заметили, что в процессе оптимизации многослойных сетей основная "настройка" идет на конечных слоях. Этому есть математическое обоснование, которого я сейчас касаться не буду. А раз так, то можно попробовать вообще не тренировать внутренние слои, если они имеют достаточно богатый "внутренний мир". Так появился "динамический резервуар" нелинейных нейронов, соединенных между собой случайным разряженным образом. В резервуар есть вход и выход. На выходе простой слой линейных нейронов. То есть резервуар представляет собой большой набор разных нелинейных функций, из которого можно "собрать" (через тренировку выходных нейронов) любую функцию. Если опустить вопрос, чем и как "наполнять" резервуар, то тренировка сети получается очень простая и быстрая. Что также позволяет экспериментировать с объемом, возможностями подключения (connectivity) и прочими параметрами резервуара. Подход связанный с резервуарными вычислениями имеет много интересных свойств. Например, можно к одному и тому же “резервуару” присоединять разные выходные слои и таким образом решать разные задачи. То есть сам резервуар гомогенен, не настроен под конкретную задачу, и может быть использован для различных задач.Список литературыN.V. Kuznetsov, V. Reitmann. Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation (Dedicated to Gennady Leonov), Springer, 2021, https://www.springer.com/gp/book/9783030509866N. Kuznetsov, G. Leonov, T. Mokaev, A. Prasad, M. Shrimali, Finite-time Lyapunov dimension and hidden attractor of the Rabinovich system. Nonlinear Dynamics 92(2), 267-285 (2018). DOI 10:1007/s11071-018-4054-zG. Nair, R. Evans, I. Mareels, and W. Moran. Topological feedback entropy and nonlinear stabilization. IEEE Transactions on Automatic Control, 49(9):1585–1597, September 2004.A.S. Matveev and A.Y. Pogromskii, Observation of nonlinear systems via finite capacity channels, PartII: Restoration entropy and its estimates, Automatica, Vol. 103 (2019) pp. 189-199.V. Araujo, M. Pacifico, E. Pujals, M. Viana, Singular hyperbolic attractors are chaotic. Transactions of the American Mathematical Society, 361(5), 2009, pp. 2431–2485.B. Coomes, H. Kocak, K. Palmer, Rigorous computational shadowing of orbits of ordinary differential equations. Numerische Mathematik, 69(4), 1995, pp. 401–421.N.V. Kuznetsov, T.N. Mokaev, O.A. Kuznetsova, E.V. Kudryashova, The Lorenz system: hidden boundary of practical stability and the Lyapunov dimension, has been accepted for publication in Nonlinear Dynamics, Nonlinear dynamics (Special Issue of Nonlinear Dynamics “Chaos theory and applications: A retrospective on lessons learned and missed”), 2020 (10.1007/s11071-020-05856-4).G. Tanaka, T. Yamane, J.B. Héroux, R. Nakane, N. Kanazawa, S. Takeda, H. Numata, D. Nakano, A. Hirose, Recent advances in physical reservoir computing: A review, Neural Networks 115, 2019, pp. 100-123.Исследование минимальной битовой скорости передачи данных в системах управления/наблюдения сложными нелинейными динамическими системами и развитие эффективных методов кодирования информации. Минимальная битовая скорость передачи данных, при которой возможно решение той или иной задачи управления/наблюдения, является фундаментальной характеристикой динамической системы. По смыслу она аналогична фундаментальной концепции классической теории информации — шэнноновской емкости канала связи. Каждая в своем контексте, эти характеристики указывают грань между возможным и невозможным и дают фундаментальный ориентир для разработки практических методов передачи данных/управления. В последние два десятилетия исследованию упомянутой фундаментальной характеристики в различных постановках были посвящена масса работ, неполно проиллюстрированных в [1-5]. Оказалось, что независимо от сценария эта характеристика аналогична по духу, хотя далеко не всегда равна топологической энтропии исследуемого объекта, которая является традиционной количественной мерой сложности, хаотичности, неопределенности и случайности в динамической системе. Наиболее исследован в рассматриваемом смысле класс линейных систем управления. Прямые исследования фундаментальной характеристики нелинейных систем были начаты позже их линейных альтернатив, а степень их завершенности на данный момент существенно ниже. Вместе с тем они продемонстрировали, что эта характеристика аналогична по духу топологической энтропии и тесно связана с другими классическими конструкциями нелинейной динамики и эргодической теории (ляпуновские экспоненты, инвариантные меры, ляпуновская и хаусдорфова размерность и др.) [6,7]. Однако фундаментальная характеристика далеко не всегда тождественна топологической энтропии и, вообще говоря, зависит от цели управления и в этом смысле вариабельна. В области управления динамическими системами ключевую роль играют выработанные в ней новые специализированные аналоги концепции энтропии, которые например, учитывают неопределенности модели системы [4], скорость затухания погрешности наблюдения [8], модифицирующие динамику системы эффекты от применения обратной связи [2], или сформированы ориентацией на достижение конкретных динамических свойств, таких как инвариантность [5], или на защиту достигнутого качества наблюдения/управления от деградации в будущем и его улучшение [6]. Роль топологической энтропии в этой области иллюстрирует, например, тот факт, что она ответственна за наблюдаемость без сохранения/улучшения качества [6] и тем самым не учитывает важное для приложений свойство. Фундаментальная характеристика, учитывающая это свойство, оценивает топологическую энтропию сверху [6] и строго превосходит ее для «почти всех» нелинейных систем [9], в частности, для логистического отображения [10]. В результате оказалось, что обсуждаемая область фактически выведена из сферы традиционных интересов классической нелинейной динамики, хотя на методическом и идейном уровне имеет с ней много общего. В целом применительно к нелинейным сетевым системам управления исследования фундаментальной характеристики и, в частности, топологической энтропии, до сих пор характеризуются рядом проблемных моментов, которые обострены тем, что затронуты не только академические области математики и физики, но и повседневная инженерная практика. Прежде всего это проблема практической вычислимости. Вычисление и точное оценивание топологической энтропии для нелинейных систем является сложной задачей, решение которой часто требует математической изощренности и является предметом публикации в профессиональных математических журналах. Например, значение топологической энтропии до сих пор неизвестно даже для многих прототипических детерминированных хаотических систем малой размерности. Указанное обстоятельство созвучно строгим математическим фактам: хотя для систем малой размерности, особенно 1, разработаны эффективные методы, имеются строго доказанные результаты о невычислимости в более сложных случаях [11]. Применительно к сетевым системам, проблема предельно обостряется их типично крупным масштабом и, соответственно, размерностью. В обсуждаемом отношении связанные с задачами управления фундаментальные характеристики нелинейных динамических объектов дают основания для сдержанного оптимизма. Например, вполне конструктивная технология оценивания фундаментальной характеристики нелинейных систем развита в [6,7]. При этом перспективность предложенного в [6,7] подхода проиллюстрирована (за счет комбинирования верхних и нижних оценок) точным вычислении в алгебраической форме этой характеристики для целого ряда знаменитых прототипических хаотических систем, чему мало аналогов применительно к топологической энтропии. Отмеченные результаты высветили потенциал, который несет общий разворот вектора исследований в обсуждаемой области в сторону большей ориентации на идейное поле теории управления в плане достижения результатов и методов повышенной эффективности и значимости. Например, успехи методов [6,7] связаны с их переориентацией с первого метода Ляпунова, что характерно для классической теории топологической энтропии, в сторону его второго метода. Вместе с тем в плане практической вычислимости можно констатировать лишь изолированные, частичные и локальные успехи, не сложившиеся в систему. В целом в области нелинейных сетевых систем управления можно отметить следующие текущие проблемы: 1. Недостаточное развитие конструктивных аналитических и численных методов вычисления фундаментальных характеристик или их точного оценивания, 2. ограничение теории фундаментальной характеристики относительно узким спектром сценариев и классов систем; 3. определяющее и не всегда оправданное влияние подходов, сформированных при исследовании линейного случая; 4. последствия типичной на практике интерференции различных неидеальностей (неустойчивость или даже хаотичная динамика объекта, запаздывания, потери и искажения данных в канале связи, и т.п.) в основном не изучены; 5. оптимизация алгоритмов управления/наблюдения по отношению к потребляемым ресурсам канала связи (например, битовой скорости канала), включая помехоустойчивое и робастное кодирование, в нелинейном случае представляет собой обширное поле, в основном открытое для дальнейших исследований. Вместе с тем важным ресурсом создания высокоэффективных сетевых систем является именно минимизация коммуникативной нагрузки и оптимизация протоколов обмена информацией и распределения ресурсов (например, общей пропускной способности) сети в рамках объективных ограничений, накладываемых ее физическими компонентами, выполняемой миссией и используемыми средствами коммуникации.Данный проект нацелен на решение указанных проблем.Библиография[1] S. Yuksel and T. Basar. Stochastic Networked Control Systems: Stabilization and Optimization under Information Constraints. Birkhauser, Boston, 2013.[2] G. N. Nair, R. J. Evans, I. M. Y. Mareels, and W. Moran. Topological feedback entropy and nonlinear stabilization. IEEE Transactions on Automatic Control, 49(9):1585–1597, September 2004.[3] G. N. Nair, F. Fagnani, S. Zampieri, and R. J. Evans. Feedback control under data rate constraints: an overview. Proceedings of the IEEE, 95(1):108–137, 2007.[4] A. V. Savkin. Analysis and synthesis of networked control systems: topological entropy, observability, robustness, and optimal control. Automatica, 42(1):51–62, 2006.[5] C. Kawan. Invariance entropy of control sets. SIAM Journal on Control and Optimization, 49(2):732–751, 2011.[6] A.S. Matveev amd A.Y. Pogromskii, Observation of nonlinear systems via finite capacity channels, PartII: Restoration entropy and its estimates, Automatica, Vol. 103 (2019) pp. 189-199[7] A.S. Matveev and A. Pogromsky, Observation of nonlinear systems via finite capacity channels: Constructive data rate limits, Automatica Volume 70, 1 August 2016, Pages 217-229[8] Liberzon, D. and Mitra, S. (2018). Entropy and minimal bit rates for state estimation and model detection. IEEE Trans. Automat. Control, 63(10), 3330–3344.[9] C. Kawan. On the relation between topological entropy and restoration entropy. Entropy, 21(1):7, 2019[10] A. Pogromsky and A. Matveev. Data rate limitations for observability of nonlinear systems. IFAC-PapersOnLine, 49(14):119–124, 2016[11] P. Koiran. The topological entropy of iterated piecewise ane maps is uncomputable. Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 4(2):351-356, 2001.4.3.7.4.Научная новизна поставленной задачи, обоснование достижимости решения поставленной задачи и возможности получения запланированных результатов.Исследование нелинейной динамики и поиск скрытых колебаний методами эволюционных вычислений.Первые шаги в применении эволюционных алгоритмов для локализации скрытых аттракторов были реализованы проф. И. Зелинкой (Остравский технический университет, факультет компьютерных наук) [1]. В его работах показана возможность численной идентификации бассейна притяжения скрытого аттрактора в электронной цепи Чуа путем применения эволюционных алгоритмов с помощью задания специальной целевой функции (cost function), экстремум которой достигается в точках из данного бассейна притяжения. Таким образом, И. Зелинке удалось повторить результаты Леонова-Кузнецова [2,3] и локализовать скрытый аттрактора в системе Чуа с параметрами, для которых уже известно, что данный аттрактор в фазовом пространстве существует. Однако, в рамках такого подхода, возникает задача разработки и реализации эволюционных алгоритмов, обеспечивающих не только поиск скрытых аттракторов в фазовом пространстве системы, но и анализ границ устойчивости в пространстве параметров системы, а также бифуркаций возникающих при пересечении этих границ и приводящих к рождению скрытых аттракторов. Данный проект будет, в частности, посвящен решению данной задачи. Для этого авторами будут произведены попытки синтеза подхода, основанного на эволюционных вычислениях, с аналитическими методами (например, методами гармонического баланса и описывающей функции), численными методами (например, методами фазового пространства, продолжения по параметру), а также будут разработаны новые классы целевых функций для эффективного решения данной задачи.Список литературыI. Zelinka, Evolutionary identification of hidden chaotic attractors. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 50, 2016, pp. 159-167. G. Leonov, N. Kuznetsov, Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits, International Journal of Bifurcation and Chaos, 23(1), 2013, art. no. 1330002 (http://dx.doi.org/10.1142/S0218127413300024). D. Dudkowski, S. Jafari, T. Kapitaniak, N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, A. Prasad, Hidden attractors in dynamical systems, Physics Reports, 637, 2016, pp. 1-50 (http://dx.doi.org/10.1016/j.physrep.2016.05.002). Разработка новых адаптивных сплайн-вейвлетных алгоритмов параллельной обработки информации, поступающей от источников сложной структуры.Новизна исследования в данном направлении состоит в разработке новых адаптивных сплайн-вейвлетных алгоритмов параллельной обработки информации, поступающей от источников сложной поверхностной (n=2) или объемной (n=3) структуры. Источниками подобного рода могут быть поверхности нагреваемых деталей, объемно структурированные слоистые полупрозрачные объекты (например, полупрозрачные внешние оболочки солнца и звезд). Заметим, что под информацией здесь понимаются оцифрованные излучения любого рода, в том числе, предполагаемые результаты могут быть применены к любым оцифрованным электромагнитным излучениям.Простые примеры (при n=1) показывают, что использование аппроксимационных соотношений не гарантирует вложенность пространств, ассоциируемых с вложенными подразделениями. С другой стороны, получение вложенных подразделений даже на простейших поверхностях (на сфере, торе кренделе), а также в трехмерных областях представляет собой нетривиальную задачу. Следует учесть, что для построения основного потока со свойствами адаптивности по отношению к исходному необходимо иметь возможность локально укрупнять исходное подразделение. Такое укрупнение легко получается в одномерном случае (провести локальные укрупнения сетки на рассматриваемом интервале не трудно). Однако уже на плоскости (при n=2) легко построить триангуляцию, локальное укрупнение которой не существует.Итак, вообще говоря, имеются три важные задачи 1) задача построения локально укрупняемого подразделения (при n>1), 2) задача построения вложенных пространств, ассоциированных с исходным и с укрупненным подразделениями соответственно, 3) реализация полученных алгоритмов на параллельных системах.Заметим, что в односвязных областях на плоскости и в пространстве найдены локально укрупняемые подразделения (см. [1,2]). Для некоторых типов подразделений найдены необходимые и достаточные условия вложенности пространств (в том числе, для пространств курантова типа), построенных на вложенных подразделениях в случае простых областей (прямоугольник, параллелепипед, n=2,3).Список литературы[1] Yu.K. Dem’yanovich. L. M. Romanovskii. Spline-Wavelet Coarsening of Courant-Type Approximations // J. of Math. Sci. 2014.Vol.199, Issue 4. Pp. 414-431.[2] Yu.K. Dem’yanovich.I.V.Gerasimov. Local Coarsening of Simplicial Subdivisions //J. of Math. Sci. 2016 Vol.216, No.2, March pp.219-236.Применение технологий машинного обучения и резервуарных нейронных сетей для анализа и предсказания хаотического поведения динамических системИсследования, связанные с применением резервуарных вычислений для прогнозирования эволюции хаотических систем до далёких горизонтов, были начаты и активно развиваются в научной группе “ветеранов” теоретического изучения хаоса Эдварда Отта (Edward Ott) и Брайна Ханта (Brian R. Hunt) из Мэрилендского университета в Колледж-Парке (University of Maryland, College Park, USA) (см. [1-4]). Они использовали резервуарное вычисление — один из алгоритмов машинного обучения - для изучения динамики “архетипической” хаотической системы под названием уравнение Курамото-Сивашинского. Эволюционирующее решение этого уравнения ведёт себя как фронт пламени, мерцающий при прохождении через горючую среду. Кроме того, данное уравнение описывает дрейфовые волны в плазме и другие физические явления, служит испытательным стендом для изучения турбулентности и пространственно-временного хаоса. Потренировавшись на данных о прошлой эволюции уравнения Курамото-Сивашинского, исследовательский резервуарный компьютер смог точно предсказать, как пламевидная система будет эволюционировать в течение восьми «времён Ляпунова», иными словами, исследователям удалось заглянуть в восемь раз дальше по сравнению с тем, что позволяли другие методы прогнозирования. Временем Ляпунова называют время, которое требуется для экспоненциальной дивергенции двух практически идентичных состояний хаотической системы. Как таковое, оно обычно определяет горизонт предсказуемости.В данном проекте будут сделаны попытки дальнейшего исследования и развития численного подхода Отта-Ханта, в части их синтеза с развитыми в коллективе проекта эффективными методами оценки размерностных характеристик хаотических систем [5-8], а также в части исследования границ применимости данного подхода, например, для предсказания переходного (transient) хаотического поведения [6,8]. Последняя проблема, в частности связана с возникшей в последнее время дискуссией о существовании скрытых аттракторов в системе Лоренца [9-11].Список литературыZ. Lu, J. Pathak, B. Hunt, M. Girvan, R. Brockett, E. Ott, Reservoir observers: Model-free inference of unmeasured variables in chaotic systems. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 27(4), 2017, 041102.J. Pathak, B. Hunt, M. Girvan, Z. Lu, E. Ott, Model-free prediction of large spatiotemporally chaotic systems from data: A reservoir computing approach. Physical Review Letters, 120(2), 2018, 024102.J. Pathak, Z. Lu, B. Hunt, M. Girvan, E. Ott, Using machine learning to replicate chaotic attractors and calculate Lyapunov exponents from data. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 27(12), 2017, 121102.Z. Lu, B. Hunt, E. Ott, Attractor reconstruction by machine learning, Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 28(6), 2018, 061104.N.V. Kuznetsov, V. Reitmann. Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation (Dedicated to Gennady Leonov), Springer, 2021, https://www.springer.com/gp/book/9783030509866N. Kuznetsov, G. Leonov, T. Mokaev, A. Prasad, M. Shrimali, Finite-time Lyapunov dimension and hidden attractor of the Rabinovich system. Nonlinear Dynamics 92(2), 267-285 (2018). DOI 10:1007/s11071-018-4054-zA.S. Matveev and A.Y. Pogromskii, Observation of nonlinear systems via finite capacity channels, PartII: Restoration entropy and its estimates, Automatica, Vol. 103 (2019) pp. 189-199.N.V. Kuznetsov, T.N. Mokaev, O.A. Kuznetsova, E.V. Kudryashova, The Lorenz system: hidden boundary of practical stability and the Lyapunov dimension, has been accepted for publication in Nonlinear Dynamics, Nonlinear dynamics (Special Issue of Nonlinear Dynamics “Chaos theory and applications: A retrospective on lessons learned and missed”), 2020 (10.1007/s11071-020-05856-4).Q. Yuan, F.-Y. Yang, L. Wang, A note on hidden transient chaos in the Lorenz system. International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 18(5), 2017, 427-434.B. Munmuangsaen, B. Srisuchinwong, A hidden chaotic attractor in the classical Lorenz system. Chaos, Solitons & Fractals, 107, 2018, 61 – 66.J. Sprott, B. Munmuangsaen, Comment on “A hidden chaotic attractor in the classical Lorenz system”. Chaos, Solitons & Fractals, 113, 2018, 261–262.Управление и наблюдение поведения нелинейных динамических систем при ограничениях на битовую скорость передачи информации.Новизна исследований в этом направлении будет состоять в разработке конструктивных методов оценивая и вычисления фундаментальной характеристики динамических систем (минимальной скорости передачи данных, которая требуется для решения той или иной задачи управления/наблюдения) и связанных методов кодирования информации, получении условия не только достаточных для достижимости цели управления, но и достаточных и необходимых (или близких к необходимым), а также в исследовании последствий интерференции различных типов неопределенностей и неидеальностей системы и канала связи. В области нелинейных систем исследования этих вопросов до сих пор находятся в стадии инициализации: см. например обзоры в [1-5]. [1] S. Yuksel and T. Basar. Stochastic Networked Control Systems: Stabilization and Optimization under Information Constraints. Birkhauser, Boston, 2013. [2] A.S. Matveev and A.Y. Pogromskii, Observation of nonlinear systems via finite capacity channels, PartII: Restoration entropy and its estimates, Automatica, Vol. 103 (2019) pp. 189-199[3] A.S. Matveev and A. Pogromsky, Observation of nonlinear systems via finite capacity channels: Constructive data rate limits, Automatica Volume 70, 1 August 2016, Pages 217-229 [4] C. Kawan, S. Yüksel. Metric and topological entropy bounds for optimal coding of stochastic dynamical systems. IEEE Trans. Autom. Control, 2019. [5] S. Hafstein, C. Kawan. Numerical computation of the data-rate limit for state estimation under communication constraints. J. Math. Anal. Appl. 473 (2019), no. 2, 1280-1304. 4.3.7.5.Современное состояние исследований по данной проблеме.* Одним из центральных вопросов в анализе нелинейной динамики является вопрос о локализации и анализе предельных движений в фазовом пространстве динамической системы. Колебание в динамической системе может быть легко вычислено, если траектории с начальными данными из его открытой окрестности в фазовом пространстве притягиваются к рассматриваемому колебанию при возрастании времени. С вычислительной точки зрения такое колебание (или множество таких колебаний) называется аттрактором, а область его притяжения --- бассейном притяжения. Для визуализации такого аттрактора достаточно выбрать начальную точку и численно наблюдать за переходным процессом притяжения траектории из выбранной точки к аттрактору с возрастанием времени. Изучение динамических систем обычно начинается с анализа состояний равновесия, которые могут быть легко найдены численно или аналитически. В 2009 году Н.В. Кузнецов и Г.А. Леонов предложили следующую классификацию аттракторов, основанную на связи их областей притяжения и состояний равновесия естественную с вычислительной точки зрения: аттрактор называется самовозбуждающимся (self-excited attractor), если любая окрестность одного из состояний равновесия пересекается с областью притяжения аттрактора, в противном случае аттрактор называется скрытым (hidden attractor).Предложенная классификация аттракторов оказалась естественной не только для исследования таких фундаментальных проблем, как 16-ая проблема Гильберта и гипотезы Айзермана и Калмана, но и отразила трудности инженерного анализа различных мультиустойчивых прикладных нелинейных моделей (в электромеханических системах, компьютерных архитектурах и телекоммуникации, системах управления летательными аппаратами, и т.д.), а также явилась катализатором открытия новых скрытых аттракторов в различных системах. Так в настоящее время по тематике скрытых аттракторов опубликовано более 200 работ известных российских и зарубежных авторов, где предложенная классификация аттракторов используется со ссылками на работы в этом направлении представителей научной школы.Работы Н.В. Кузнецова и Г.А. Леонова по тематике скрытых аттракторов стали самыми цитируемыми работами журналов:the list of the most cited articles of the journal (all the years) http://www.worldscientific.com/worldscinet/ijbc?journalTabs=cited (G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits, International Journal of Bifurcation and Chaos, 23(1), 2013, art. no. 1330002)the most cited Physica D: Nonlinear Phenomena article in the last 5 years (published since 2012) according to the journal website http://www.journals.elsevier.com/physica-d-nonlinear-phenomena/most-cited-articles (G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, V.I. Vagaitsev, Hidden attractor in smooth Chua systems, Physica D: Nonlinear Phenomena, 241(18), 2012, 1482-1486)the list of the most cited articles of the journal (all the years) http://citations.springer.com/search?query=Journal%20of%20Computer%20and%20Systems%20Sciences%20International (V.O. Bragin, V.I. Vagaitsev, N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, Algorithms for finding hidden oscillations in nonlinear systems. The Aizerman and Kalman conjectures and Chua's circuits, Journal of Computer and Systems Sciences International, 50(4), 2011, 511-543) В 2016 году обзорная статья по срытым аттракторам была в ведущий физический журнал Physics Reports A Review Section of Physics Letters (IF 16): D. Dudkowski, S. Jafari, T. Kapitaniak, N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, A. Prasad, Hidden attractors in dynamical systems, Physics Reports, 637, 2016, 1-50.Актуальность данной тематики для теории и приложений подтверждается приглашением на ведущие международные конференции с приглашенными докладами по данной тематике:G. Leonov, N. Kuznetsov, M. Kiseleva, Stability and oscillations in discontinuous mechanical systems, 3rd International Workshop on Advanced Dynamics and Model Based Control of Structures and Machines (September 18-22, 2017 Perm, Russia)Kuznetsov N.V., Hidden attractors in fundamental problems and engineering models. A short survey. International Conference on Advanced Engineering – Theory and Applications, 2015 (Ho Chi Minh City, Vietnam) (plenary lecture)N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, Hidden attractors in dynamical systems: systems with no equilibria, multistability and coexisting attractors, IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline), 19, 2014, pp. 5445-5454 [survey lecture]G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, and S.M. Seledzhi, Open and solved problems in the stability of mechanical, electromechanical and electronic systems, International conference for Mathematical Modeling and Optimization in Mechanics (Jyväskylä, Finland), 2014Леонов Г.А., Кузнецов Н.В., Решенные и нерешенные проблемы в теории управления, ВСПУ-2014, Москва, 2014Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Prediction of hidden oscillations existence in dynamical systems: analytical numerical approach, Nostradamus 2013, 2013 (Ostrava, Czech Republic) [keynote lecture]Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Seledzhi S.M, Hidden attractors in dynamical systems: fundamental problems and applied models, 2nd International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications ( IECMSA-2013), 2013 (Sarajevo, Bosnia and Herzegovina) [keynote lecture]Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Hidden attractors in dynamical systems, International conference Dynamical Systems and Applications, 2012 (Kiev, Ukrane) [plenary lecture]Леонов Г.А., Кузнецов Н.В., Скрытые аттракторы в динамических системах, XII Международная конференция Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (STAB-2012), 2012 (Москва, Россия) [пленарный доклад]Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillation in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits, IEEE 5th IWCFTA Int. Workshop on Chaos-Fractals Theories and Applications, 2012 (Dalian, China) [plenary lecture]Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems, 18th World Congress of the International Federation of Automatic Control (IFAC WC), 2011 (Milan, Italy) [survey paper]G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, S.M. Seledzhi, Hidden oscillation in dynamical systems, The 15th International Conference on SYSTEMS, 2011 (Corfu Island, Greece) [plenary lecture] [Recent researches in System Science, 2011, pp. 292-297 (ISBN 978-1-61804-023-7)]Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Seledzhi S.M., Analytical-numerical methods for hidden oscillations localization, ECCOMAS Thematic Conference Computational Analysis and Optimization (CAO2011), 2011 (Jyväskylä, Finland) [keynote lecture]G.A. Leonov, Hidden oscillations in dynamical system, The Third International Conference on Dynamics, Vibration and Control, 2010 (Hangzhou, China) [plenary lecture]Leonov G.A., Localization of hidden oscillations in dynamical systems, 4th International scientific conference on Physics and Control, 2009 (Catania, Italy) [plenary lecture]* Устойчивость по первому приближению. В 1892 году А.М. Ляпунов рассмотрел общую задачу об устойчивости по первому приближению. Он доказал, что если система первого приближения регулярна и все ее характеристические показатели отрицательны, то решения исходной системы асимптотически устойчивы. В 1930 году О. Перрон показал, что требование регулярности первого приближения является существенным. Он построил пример системы второго порядка, первое приближение которой вдоль нулевого решения исходной системы имеет отрицательные характеристические показатели. Вместе с тем, это нулевое решение исходной системы неустойчиво по Ляпунову. Более того, в сколь угодно малой окрестности этого нулевого решения почти все решения исходной системы имеют положительные характеристические показатели. Таким образом, было показано, что знак старшего ляпуновского показателя не всегда определяет устойчивость или неустойчивость системы, а для исследования аттракторов методом первого приближения требуется дополнительное обоснование.В 2007 году Г.А. Леонов и Н.В. Кузнецов опубликовали обзорную статью [Time-Varying Linearization and the Perron effects, International Journal of Bifurcation and Chaos, 17(4), 2007, 1079-1107], в которой показано, что для устойчивых и неустойчивых по первому приближению потоков решений эффекты Перрона смены знака характеристического показателя исходной и линеаризованной системы при одних и тех же начальных данных возникают только на границах, и предложили общие методы исследования устойчивости и неустойчивости неправильных систем.* Анализ и прогнозирование динамики социально-экономических моделей.Объяснение и предсказание поведения сложных систем является одной из важных задач современных исследований в различных областях. События последнего десятилетия продемонстрировали опасность непредсказуемого развития экономических и финансовых систем, которое может приводить к системным финансовым неудачам и глобальному финансово-экономическому кризису. Это подтолкнуло исследователей к постановке ряда концептуальных вопросов, связанных с поиском новых подходов к прогнозированию критических переходов в таких сложных системах и определению показателей устойчивости [1, 2], которые сначала выявляются математически, а затем проверяются экспериментально. В то же время прогнозирование и анализ текущего характера динамики финансово-экономических систем позволяет эффективно управлять ими, выявляя и отслеживая устойчивые, неустойчивые, детерминированные хаотические и стохастические процессы, и оценивать эти процессы количественно с помощью размерностных, энтропийных и корреляционных характеристик.Для ответа на эти важные вопросы необходимо разрабатывать и применять надежные прогностические процедуры, что позволит существенно снизить издержки непредсказуемости поведения финансово-экономических систем, в том числе кризисных состояний, и предложить рекомендации для стабилизации динамики этих систем.Во второй половине прошлого века после открытия Лоренца и Уеды [3, 4] хаотических процессов в динамических системах стала активно развиваться теория хаоса, которая помогает объяснить сложность и непредсказуемость поведения этих систем. Концепция сложности динамических систем, связанная с нелинейностью и ограниченной возможностью прогнозирования их поведения, а также ряд существовавших в тот момент открытых задач, вызвал интерес к теории хаоса у специалистов в области экономики с целью выявления и исследования нетривиальных экономических эффектов, а также стабилизации нерегулярных процессов [5-16].Развитие этой тематики, начиная с 70х годов прошлого века и по настоящее время, находит отражение в работах известных экономистов [6, 10, 14, 17-22], продемонстрировавших многочисленные примеры детерминированных экономических моделей, которые могут генерировать непериодические колебания. Хаотическая динамика изучалась в моделях экономического роста, структуры рынка и теории игр [7, 11, 13, 23], моделях рациональных ожиданий [5, 20, 24], новокейнсианской модели открытой экономики [18, 19], предложенной в 2005 г. Гали и Моначелли [25], нелинейных моделях гетерогенных агентов с периодическими и хаотическими колебаниями цен на активы [20, 24, 26], денежных агрегатах с помощью метрической (корреляционная размерность и показатели Ляпунова) и топологической методологии (рекуррентные графики) [23], моделях бизнес-циклов, представленных финансовыми временными рядами [9], при анализе доходности акций рынков стран G7 [27] и прогнозировании сделок высокочастотных торгов на валютном рынке [28].Исследования по данной тематике развивались в двух направлениях. Одно направление носит эмпирический характер и обсуждает возможность того, что фактические экономические временные ряды характеризуются хаотической динамикой, а также разработкой статистических тестов хаоса и применения этих тестов к макроэкономическим и финансовым временным рядам. Другое ‑ было сосредоточено на демонстрации возможности циклического и хаотического динамического поведения, возникающего в широком спектре теоретических моделей, и попытках выяснить, могут ли математические нелинейные детерминированные модели демонстрировать тип колебаний, обычно встречающихся в экономических данных. Это направление, с одной стороны, предполагало анализ низкоразмерных динамических моделей, которые восстанавливались из временных рядов реальных данных [22], а с другой – основывалось на построении математических моделей, исходя из предположений о динамике изучаемого процесса. Основная цель обоих подходов как эмпирического, так и теоретического, состояла в построении достоверного прогноза поведения динамических систем на основе использования концепций и методов теории хаоса. При этом основная сложность первого подхода заключается в трудности дифференциации между детерминированным хаотическим поведением динамической системы и случайными флуктуациями, вызванными ошибками измерений или ошибками выборки [12, 16]. Второй подход имеет ограничение с точки зрения размерности рассматриваемых моделей, для которых возможно получение аналитических результатов (как правило, рассматриваются двумерные системы) [9, 22, 23].Вся история развития данной тематики показывает, что сложность описания динамики экономических явлений во многом связана с трудностями построения их адекватных математических моделей. При этом попытки полного описания таких моделей и наблюдение реальных экспериментальных данных для реконструкции моделей по ним приводят к динамическим моделям высокого порядка, в том числе стохастическим, для которых возможно проведение только количественного анализа при помощи численных процедур. Хорошо известно, что в теории хаоса применение численных методов и получение с их помощью достоверных результатов требует отдельного обоснования, в том числе связанного с теорией шедоуинга и анализом компьютерных ошибок [29]. Вычислительные процедуры имеют ряд существенных недостатков. Во-первых, расчеты выполняются на конечных временных интервалах, что создает трудности в выявлении отличия переходного процесса от установившегося хаотического поведения; во-вторых, применение алгоритмов численного интегрирования сопряжено с вычислительной неустойчивостью, что неизбежно влечет ошибки аппроксимации, в-третьих, неограниченность пространства возможных начальных данных не позволяет эффективно прогнозировать предельное поведение динамической системы в фазовом пространстве. В то же время для систем низкого порядка есть возможность применения строгих нелинейных методов теории динамических систем, которые позволяют получать строгие аналитические результаты. Это позволяет получать для низкоразмерных систем эффективные критерии устойчивости и отсутствия хаотического поведения. Таким образом, качественное исследование и оценка количественных характеристик динамики изучаемого процесса могут быть выполнены как численно, так и аналитически. В частности, можно вычислять ляпуновскую размерность аттрактора, используя численные процедуры, и проводить аналитическую локализацию аттрактора с помощью построения абсорбирующего множества.В настоящей работе мы используем аналитический подход для анализа локальной и глобальной устойчивости модели В.И. Шаповалова [30, 31], описывающей динамику средней фирмы. Для данной модели выполнена аналитическая локализация аттрактора системы и проведен глобальный анализ устойчивости, что позволило получить области параметров, в которых система демонстрирует различные типы поведения: устойчивую, неустойчивую или детерминированную хаотическую динамику. Кроме того, решена задача прогнозирования установившегося (предельного) поведения этой динамический системы. Таким образом, удалось преодолеть проблему неограниченности набора начальных данных и реализовать достоверный численный анализ модели, в том числе исследовать ее хаотическую динамику. С помощью адаптивного алгоритма поиска конечно-временной размерности и ляпуновских экспонент для значений параметров модели, при которых определяется хаотический аттрактор, получены некоторые оценки, позволяющие рассчитать такие характеристики как ляпуновская размерность.[1] Battiston S, et al. Complexity theory and financial regulation: economic policy needs interdisciplinary network analysis and behavioral modeling. Science 2016;351(6275):818–19[2] Scheffer M, et al. Anticipating critical transitions. Science 2012;338:344–8.[3] Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow. J Atmos Sci 1963;20(2):130–41.[4] Ueda Y, Akamatsu N, Hayashi C. Computer simulations and non-periodic oscillations. Trans IEICE Japan 1973;56A(4):218–55.[5] Benhabib J, Day R. Rational choice and erratic behaviour. Rev Econ Stud 1981;48(3):459–71.[6] Benhabib J, Nishimura K. The Hopf bifurcation and the existence and stability of closed orbits in multi sector models of optimal economic growth. J Econ Theory 1979;21:421–44.[7] Boldrin M, Montrucchio L. On the indeterminacy of capital accumulation paths. J Econ Theory 1986;40:26–39.[8] Baumol WJ, Benhabib J. Chaos: Significance, Mechanism, and Economic Applications. J Econ Perspect 1989;3(1):77–105.[9] Brock W, Sayers CL. Is the business cycle characterized by deterministic chaos? J Monet Econ 1998;22:71–90.[10] Brock WA, Hommes CH. A rational route to randomness. Econometrica 1997;65:1059–95.[11] Brock WA, Malliaris WA. Differential equations, stability and chaos in dynamic economics. Amsterdam-Oxford-New York: Elsevier-North-Holland; 1989.[12] Bullard J, Butler A. Nonlinearity and chaos in economic models: implications for policy decisions. Econ J 1993;103(419):849–67.[13] Day RH. The emergence of chaos from classical economic growth. Q J Econ 1983;98(2):201–13.[14] Day RH. Complex economic dynamics: obvious in history, generic in theory, elusive in data. J Appl Econom 1992;7:S9–S23.[15] Farmer J, Ott E, Yorke J. The dimension of chaotic attractors. Physica D 1983;7(1–3):153–80.[16] Sugihara G, May R. Nonlinear forecasting as a way of distinguishing chaos from measurement error in time series. Nature 1990;344(6268):734–41.[17] Barnett W, Serletis A. Martingales, nonlinearity, and chaos. J Econ Dyn Control 20 0 0;24:703–24.[18] Barnett WA, Eryilmaz U. Hopf bifurcation in the Clarida, Gali, and Gertler model. Econ Model 2013;31:401–4.[19] Barnett WA, Eryilmaz U. An analytical and numerical search for bifurcations in open economy New Keynesian models. Macroecon Dyn 2016;20:482–503.[20] Brock W, Hommes C. Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple asset pricing model. J Econ Dyn Control 1998;22:1235–74.[21] Grandmont JM. Nonlinear economic dynamics. NY: Academic Press; 1998.[22] Medio A. Chaotic dynamics: theory and applications to economics. Cambridge: University Press; 1992.[23] Barkoulas JT. Testing for deterministic monetary chaos: metric and topological diagnostics. Chaos Solitons Fractals 2008;38:1013–24. [24] Hommes C. Behavioral rationality and heterogeneous expectations in complex economic systems. Cambridge University Press; 2013.[25] Gali J, Monacelli T. Monetary policy and exchange rate volatility in a small open economy. Rev Econ Stud 2005;72:707–34.[26] Hommes C. Handbook of Computational Economics, 2. Elsevier; 2006. p. 1109–86. Ch. 23[27] Tiwaria AK, Guptac R. Chaos in G7 stock markets using over one century of data: a note. Res Int Bus Finance 2019;47:304–10.[28] Hirata Y, Aihara K. Timing matters in foreign exchange markets. Physica A 2012;391:760–6.[29] Pilyugin SY. Shadowing in dynamical systems. Springer; 2006.[30] Shapovalov V, Kablov V, Bashmakov V, Avakumov V. Sinergeticheskaya model ustoychivosty sredney firmy. Synergetics and problems in control theory. FIZMATLIT (in Russian); 2004. p. 454–64. [31] Shapovalov V, Kazakov N. The Lorenz attractor and other attractors in the economic system of a firm. J Phys: Conf Ser 2015;574:012084.* Анализ современного состояния исследований в области интеллектуальной обработки числовой информации разобьем на три части. В первой части коснемся традиционных способов оценивания числовых информационных потоков. Во второй части остановимся на современных направлениях обработки числовой информации и на взаимное проникновении идей этих направлений. Третья часть посвящена более детальному анализу современного состояния исследований.1. Традиционные способы оценивания числовых информационных потоковЦифровая обработка сигналов возникла давно - с появлением вычислительных устройств, а возможно и раньше. Причиной этого послужили развитие телефонной и телеграфной сетей, развитие радиосвязи, появление радиоастрономии и медицинского зондирования. Широкое развитие методов и приемов цифровой обработки сигналов (ЦОС) связано с внедрением компьютеров практически во все сферы человеческой деятельности. Систематическое развитие теории обработки сигналов началось во второй половине прошлого столетия. Появились различные способы кодирования цифровой информации, способы сжатия с полным восстановлением (алгоритмы Шеннона-Фэно), коды, обнаруживающие ошибки, исправляющие коды Хемминга (применяемые в каналах связи), исправляющие коды Рида-Соломона (используемые, в частности, при записи CD и DVD-дисков), помехоустойчивые коды и т.п. ЦОС занимает значительное место в военном деле при передаче информации, при шумопеленговании и шумоподавлении.ЦОС используется для фильтрации поступающих цифровых потоков с целью выделения из них полезной информации.До восьмидесятых годов прошлого столетия основное внимание уделялось быстрым алгоритмам отыскания линейной и циклической сверток (Кука-Тома, Винограда), а также быстрому дискретному преобразованию Фурье (Кули-Тьюки, Гуда-Томаса, Винограда).При представлении аналогового (непрерывного) сигнала числовой последовательностью используют набор отсчетов через равные промежутки времени, называемые периодом дискретизации. В общем случае представление сигнала конечным набором отсчетов, очевидно, не позволяет полностью восстановить исходный непрерывный сигнал, но имеются классы сигналов, которые могут быть точно восстановлены по такому набору решением соответствующей интерполяционной задачи. Один из таких классов определяется теоремой Котельникова.Спектральный анализ - один из методов обработки сигнала, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Математическая основа - преобразование Фурье. При этом используются также статистические методы, т.к. сигнал обычно имеет элементы случайности. В действительности по одному единственному отрезку сигнала можно получить лишь некоторую оценку его спектра. Поэтому на практике результат исследования носит определенный субъективный характер, и зависит также от интуиции исследователя.Многие ученые разрабатывали методы обработки информационных потоков. Упомянем некоторых из них (в скобках отмечена дата наиболее важного в данном направлении результата, полученного ученым): Л.Эйлер (1755), Жан Батист Фурье (1822), Дж.Юл (1927), Н. Винер (1930), А.Я. Хинчин (1938), Е.Е.Слуцкий (1938), Х.Вольд (1938), А.Н.Колмогоров (1938), Дж. Кули и Дж. Тьюки (1958). В настоящее время для спектрального оценивания широко используются методы Юла-Уолкера, Прони, методы скользящего среднего, концепции линейного предсказания А.Н.Колмогорова. Особое место занимают упомянутые ранее быстрые алгоритмы отыскания линейных и циклических сверток, а также алгоритмы быстрого дискретного преобразования Фурье. Эти алгоритмы разработаны также в суррогатных полях (полях Галуа) с целью избежать ошибки округления.Отметим, что в большинстве случаев разработанные алгоритмы приспособлены для обработки последовательностей, т.е. числовых потоков, исходящих от точечных источников. Однако на практике источник может быть протяженным (одномерным, двумерным или трехмерным). Для этих случаев нужны более изощренные подходы, которые позволяют создавать адаптивные алгоритмы, учитывающие не только изменчивость потока по времени, но также его пространственное распределение. При этом кроме спектрального анализа числовых потоков возникали проблемы хранения, передачи и оперирования с большими массивами числовой информации. Такие проблемы решались при интерполяции и аппроксимации функций, при численном решении задач математической физики, и в других случаях.2. Современные способы обработки больших объемов числовой информацииИсследования в области обработки больших числовых массивов информации восходят к трем источникам, возникшим независимо друг от друга: к классической теории сплайнов, к методу конечных элементов и к теории вейвлетов. В соответствии с этим можно выделить по крайней мере три направления развития теории обработки упомянутых массивов.Первое направление берет свое начало с 20-х годов прошлого века, хотя основополагающими являются работы И. Шонберга [1] – [2]. Исходным моментом здесь является решение какой-либо задачи интерполяции (задачи Лагранжа, Эрмита или Эрмита-Биркгофа) в классе функций с «кусочными» свойствами и с определенной гладкостью в узлах рассматриваемой сетки (см. [1] – [10]). Заметим, что если исходный массив числовой информации задан как сеточная функция на мелкой сетке, то замена этой сеточной функции на результат решения интерполяционной задачи для крупной сетки (являющейся подмножеством мелкой сетки) может рассматриваться как сжатие исходного массива числовой информации. Аппроксимационные свойства и вычислительная простота получаемых сплайнов всякий раз исследуются дополнительно. Сюда относятся современные исследования по обобщенным сплайнам (см., например, [3]) и, так называемым, ECT-B-сплайнам. В этих работах для построения сплайнов на сеточных промежутках используются различные ECT-системы [8], которые при определенных условиях удается гладко «склеить» в узлах.Второе направление развивается с конца 30-х годов (О.Зенкевич, 1938); оно опирается на аппроксимационные свойства рассматриваемых функций (Р.Курант, 1941), где определение базисных функций связано с решением аппроксимационных соотношений, рассматриваемых как система уравнений. Эти исследования появились в связи с теорией метода конечных элементов (см. [11] – [17]). При таком подходе интерполяционные свойства и алгоритмы минимизации вычислительной сложности (вложенность пространств и вэйвлетное представление цепочки вложенных пространств) приходится устанавливать дополнительно.С конца 70-х годов появляется третье направление — вэйвлетный подход. Этот подход в основу кладет вычислительную простоту, отражением чего является кратно-масштабное уравнение (см. [18] – [29]). Исследование последнего приводит в первую очередь ко вложенности получаемых пространств и к вейвлетному представлению соответствующей цепочки вложенных пространств, что ведет к минимизации вычислительной сложности. Остальные из перечисленных выше свойств с большим или меньшим успехом исследуются дополнительно (см., например, [25] – [26]). Кроме обработки потоков числовой информации вейвлеты (называемые также всплесками) успешно применяются при решении краевых задач; одной из последних работ в этом направлении является работа [29].Поскольку третье направление --- вейвлетный подход --- развивалось позже первых двух, то третье направление, конечно, находилось под влиянием первых двух. В частности, И.Добеши [18] имела дело со сплайнами, Свелденс в [20] использовал конструкции, близкие к методу конечных элементов, а книга Малла практически вся пронизана идеями, разрабатывавшихся в первых двух направлениях. На этих же идеях основан и новый (неклассический) подход к построению вейвлетных разложений, который развивается с начала второго тысячелетия (см. [30] – [31]). При этом подходе удалось избавиться от ряда ограничений, характерных для теории классических вейвлетов. В результате появились дополнительные возможности, относящиеся к выбору классов рассматриваемых функций (исходные построения не требуют введения скалярного произведения или нормы в линейное пространство функций), области их определения (она --- просто гладкое многообразие); ослаблены и другие ограничения.[1] Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Part A. On the problem of smoothing or graduation. A first class of analytic approximation formulae // Quart. Appl. Math. 1946. Vol.4, N1. P.45–99.[2] Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Part B. On the problem of osculatory interpolation. A second class of analytic approximation formulae // Quart. Appl. Math. 1946. Vol.4, N2. P.112–141.[3] Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе: Пер. с англ. М.: Мир, 1974.[4] Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н.Сплайны в вычислительной математике. М.:Наука, 1976. 248 с.[5] Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.[6] Малоземов В. Н., Певный А. Б. Полиномиальные сплайны: учеб.пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 120 с.[7] Schumaker L.L. On super splines and finite elements. SIAM J. Numer. Anal. 1989. Vol.26. P.997–1005.[8] Buchwald B., Muhlbach G. Construction of B-splines for generalized spline spaces from local ECT-systems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2003. Vol.159. Р.249–267.[9] Квасов Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006. 416 с.[10] Burova I.G., Evdokimova T.O. On construction third order approximation using values of integrals // WSEAS Transactions on Mathematics. 2014. Vol.13. P. 676–683.[11] Goel J.J. Construction of basis functions for numerical utilization of Ritz’s method // Numer. Math. 1968. Vol.12. P.435–447.[12] Михлин С. Г. Вариационно-сеточная аппроксимация // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР. 1974. Т. 48. С.32–188.[13] Strang G., Fix G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin Theory // Stud. Appl. Math. 1969. Vol.48, N3. P.265-273.[14] Демьянович Ю.К., Михлин С.Г. О сеточной аппроксимации функций соболевских пространств //Зап.науч.семинаров ЛОМИ АН СССР. 1973. Т.35. С. 6-11.[15] Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л. 1977, 206 с.[16] Оганесян Л.А., , Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван, 1979. 335 с.[17] Сиарле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М. 1980, 512 с.[18] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва-Ижевск. 2004, 404 с. (Перевод книги Ingrid Daubechies. Ten Lectures on WaveletsSIAM/Philadephia. 1992).[19] Buhmann M.D. Multiquadratic Prewavelets on Nonequally Spaced Knots in One Dimension // Math. of Comput., 1995. Vol.64, N 212. P.1611–1625.[20] Sweldens W. The lifting scheme: a construction of second generation wavelets. SIAM J. of Math. Analysis. 1997. Vol.29 (2). P.511–546.[21] Daubechies I., Guskov I., Schr¨oder P., Sweldens W. Wavelets on Irregular Point Sets // Phil. Trans.: Math., Physical, Engng. Sci. 1999. Vol.357. P.23972413.[22] Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. Т.53, № 6 (324). C.5228.[23] Чуи К. Введение в вэйвлеты: Пер. с англ. М.: Мир, 2001. 412 с.[24] Максименко И. Е., Скопина И. Е. Многомерные периодическиевсплески // Алгебра и анализ. 2003. Т.15, № 2. C.1–39.[25] Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 2005. 671 с.[26] Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2005. 616 с.[27] Оселедец И.В. Использование разделенных разностей и B-сплайнов для конструирования быстрого дискретного преобразования вэйвлетного типа на неравномерной сетке // Ж. Математические Заметки. 2006. Т.77, №5. С.686–694.[28] Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа. М., 2007. 320 с.[29] Ю. Н. Субботин, Н. И. Черных. Интерполяционные всплески в краевых задачах, Тр. ИММ УрО РАН, 22:4 (2016), 257–268.[30] Демьянович Ю.К. Теория сплайн-всплесков. СПб. 2013, 526 с.[31] Бурова И.Г., Демьянович Ю.К., Евдокимова Т.О. Сплайн-всплески и их реализация. СПб. 2017, 414 с.3. Детальный анализ современного состояния исследований в рассматриваемой областиОбработкой файлов с числовой информацией занимались E.Ramos-Diaz, Israa Amro (см. работу Israa Amro, Javier Mateos, Miguel Vega, Rafael Molina, Aggelos K Katsaggelos. A survey of classical methods and new trends in pansharpening of multispectral images//EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, 2011,issue 1, pp.79-89). Характеристическим анализом вэйвлет-коэффициентов в связи с приложениями к сжатию изображений занимается Fangnian (см. работу Characteristics analysis of wavelet coefficients and its applications in image compression//International Journal of Wavelets Multiresolution and Information Processing. May 2014). Обработка таких файлов тесно связана с построением иерархических систем сплайнов. Одна из пионерских работ, посвященная построению иерархической системы В-сплайнов, позволяющая аппроксимировать поверхности на различных уровнях детализации, принадлежит D.Forsey и R.Bartels (см. работу R. Bartels, D. G. Fiebig, A. McCabe.The value of using stated preference methods: a case study in modelling water heater choices.Mathematics and Computers in Simulation 64(3-4): 487-495, 2004). К пионерским работам следует отнести также статью C.K.Chui, E.Quak Wavelet on a bounded interval//Numerical Methods of Approximation Theory.1992.Vol.1,53-57. Авторы исследовали В-сплайны в свете кратномасштабного анализа; им удалось получить представление В-сплайн-всплеска в явном виде. Некоторые варианты сплайн-всплесков на неравномерных сетках получены в работах T.Lyche и K.Morken (см.статью Some examples of quasi-interpolants constructed from local spline projectors, 2001), а также в упомянутой ранее работе И.В.Оселедца, выполненной под руководством Е.Е.Тыртышникова (см. Оселедец И.В. Использование разделенных разностей и B-сплайнов для конструирования быстрого дискретного преобразования вэйвлетного типа на неравномерной сетке // Ж. Математические Заметки. 2006. Т.77, №5. С.686–694). Sederberg ввел T-сплайны, которые позволяют уменьшить большое количество избыточных управляющих вершин для построения поверхностей и обеспечивающие возможность локального измельчения сетки. Конкурирующие исследования проводятся Ryuichi Ashino, Akiro Morimoto. Адаптивный вейвлет-анализ разрабатывается исследователями H.Molham Chikhalsouk, Rama D.Bhat (2014). Основная трудность, которую пытаются преодолеть авторы этих работ --- сложность алгоритмов преобразований, которая проистекает из попыток одновременно достичь аппроксимационные качества как во временной, так и в частотной области. Заметим, что вейвлетные разложения можно рассматривать и как фильтрацию сигнала. Адаптивными фильтрами занимались многие авторы; из последних работ отметим работы H.Seddik(2014), посвященные новым семействам гауссовских адаптивных фильтров.Вейвлеты приобрели большое распространение в различных областях науки и техники - везде, где требуется обработка больших потоков числовой информации (часто называемых потоками цифровых сигналов). Появление вейвлетов относится к восьмидесятым --- девяностым годам прошлого века. И сразу же они были применены к обработке звуковых и сигналов (см. R.Kronland-Martinet, J.Morlet, and A.Grossman (1987), Analysis of sound patterns through wavelet transforms, Internat. J. Pattern Recognition and Artificial Intelligence. 1, pp.227-301, а также S.Malla (1989), Multifrequency channel decompositions of images and wavelet models, IEEE Trans. Acoust. Signal Speech Process., 37, pp.2091 -- 2110). Интерес к развитию теории вейвлетов прежде всего исходил от физиков, которым приходилось заниматься обработкой больших объемов информации, представленной потоками цифровых сигналов. В связи с этим нельзя не упомянуть книгу Ingrid Daubechies, переведенную на русский язык (см. И.Добеши «Десять лекций по вейлетам», Москва – Ижевск. 2005). В этой книге представлены основные идеи классического подхода к построению вейвлетов. Эти идеи тотчас были подхвачены практиками и использованы для сжатия изображений (см. книгу С.Уэлстид. «Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии». М., 2003). Обработке изображений посвящено много работ (см., например, знаменитую книгу Гонсалес, Рафаэль С. «Цифровая обработка изображений в среде MATLAB» / Р. Гонсалес, Р. Вудс, С. Эддинс. М. Техносфера, 2006, а также книгу Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений.М.: Техносфера, 2012). В дальнейшем появилась замечательная монография Stephane Mallat. «A Wavelet Tour of Signal Processing». Academic Press. 2003 (см. ее перевод С.Малла. «Вэйвлеты в обработке сигналов». М.,Мир. 2005). В книга С.Малла характеризуется широким охватом различных проблем, связанных с классическим вейвлет-анализом, начиная от вариантов преобразования Фурье, рассмотрением ортогональных базисов и кончая вопросами аппроксимации и устойчивости вычислений. Первой монографией в русскоязычной литературе, целиком посвященной классической теории вейвлетов, является книга И.Я. Новикова, В.Ю.Протасова и М.А.Скопиной «Теория всплесков». М., ФИЗМАТЛИТ. 2005. В этой монографии излагается построение ортогональных и биортогональных систем всплесков (вейвлетов), изучаются их структурные и аппроксимационные свойства.Новый подход к построению вейвлетов тесно связан с теорией минимальных сплайнов, которая разрабатывалась последние десятилетия прошлого столетия и нашла свое отражение в монографии Ю.К.Демьяновича «Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны» (СПб, 1994). Ее дальнейшее развитие -- в монографии И.Г.Буровой и Ю.К.Демьяновича «Теория минимальных сплайнов» (СПб, 2000). Новый подход к построению всплесковых (вэйвлетных) разложений был отражен в цикле статей Ю.К.Демьяновича и в его книге «Всплески & минимальные сплайны» (СПб, 2003), где рассматривались всплесковые разложения для полиномиальных пространств сплайнов на равномерной сетке. Там было установлено, что все пространства минимальных сплайнов, рассматриваемые на вложенных двукратно измельчаемых равномерных сетках, распадаются на цепочки вложенных пространств. Там же была дана топологическая классификация этих цепочек и для каждой такой цепочки было построено всплесковое разложение. Всплесковое разложение вложенных пространств сплайнов на неравномерной сетке было получено в заметке, помещенной в Докладах РАН (2002. Т.382, №3). Упомянем также работу по вложенным пространствам тригонометрических сплайнов и их всплесковым разложениям, опубликованную Ю.К.Демьяновичем (Математические Заметки, 2005.Т.77, №5), где помимо упомянутых разложений на неравномерных сетках были представлены некоторые нестандартные тригонометрические тождества, которые, видимо, представляют самостоятельный интерес. Дальнейшее развитие нового подхода время от времени приводило к новым сюрпризам: появлялись новые детерминантные тождества, неожиданной оказалась само появление неполиномиальных пространств сплайнов тех же гладкостей, что и полиномиальные пространства сплайнов, а еще удивительнее оказалось, что пространства неполиномиальных сплайнов максимальной гладкости на вложенных сетках образуют цепочку вложенных пространств, а также тот факт, что основным достаточным условием этих событий является неравенство нулю вронскиана порождающей функции. Продолжая обзор работ, заметим, что в 2006 И.В.Оселедец использовал разделенные разности и B-сплайны для конструирования быстрого дискретного преобразования вэйвлетного типа на неравномерной сетке (Математические Заметки, 2005.Т.77, №5) . Условия гладкости сплайновых пространств и их всплесковые разложения были рассмотрены в 2005 году (Ю.К.Демьянович, Доклады РАН.2005. Т.401, №4). Дальнейшие исследования в этом направлении привели к рассмотрению специальных оснащений дифференцируемых многообразий и к построениям всплесковых разложений на этих многообразиях (Ю.К.Демьянович, Доклады РАН.2009. Т.77, №2). Основой вейвлетных алгоритмов является система двух линейных пространств, одно из которых вложено в другое. Проектированием объемлющего пространства (называемое исходным) на вложенное (называемое основным) получаем прямую сумму, состоящую из двух слагаемых: основного пространства и прямого дополнения --- линейного пространства, называемого вейвлетным. Такая схема наиболее эффективно работает для сплайновых пространств (n=1) и конечно-элементных пространств (n=2,3). Для краткости оба типа пространств часто будем называть сплайновыми пространствами. Построение таких пространств с подходящими свойствами --- трудно решаемая проблема. В классической теории вейвлетов она сводится к кратно-масштабному анализу, центральным объектом которого является кратно-масштабное уравнение. Последнее решается красивым применением преобразования Фурье. При этом приходится ограничиться равномерной сеткой и пространством L_2 на вещественной оси. Дальнейший прогресс в этом направлении связан с большими трудностями, хотя исследователи прилагают большие усилия для их преодоления (см. монографию Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М. 2005 г. и приведенную там библиографию). Предлагается другой подход к построению вейвлетного разложения; он основан на применении аппроксимационных соотношений Стрэнга-Михлина (см. работы: Михлин С. Г. Вариационно-сеточная аппроксимация // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР. 1974. Т. 48. С.32–188, и Strang G., Fix G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin Theory // Stud. Appl. Math. 1969. Vol.48, N3. P.265-273).Основные преимущества этого подхода состоят в следующем.1) Аппроксимационные соотношения позволяют определить координатные функции с малым носителем, линейная оболочка которых представляет собой пространство с асимптотически оптимальными аппроксимационными свойствами (по N-поперечнику стандартных компактов).2) Отпадает необходимость построения кратно-масштабного соотношения и масштабирующей функции. Не требуется «кратно-масштабный анализ».3) Ортогональность основного и вейвлетного пространств не требуется.4) Проводимые построения не требуют введения скалярного произведения или нормы: достаточно ограничиться линейным пространством с топологией поточечной сходимости.5) Предоставляется широкий выбор (вообще говоря, неполиномиальных) пространств сплайнов или пространств конечных элементов, а также их вейвлетных разложений.6) Естественным образом вводятся сплайн-вейвлетные разложения лагранжева типа, эрмитова типа, а также на поверхностях и на более общих объектах – дифференцируемых многообразиях.Конечно, подобное расширение возможностей приводит к новым задачам оптимизации при выборе неравномерных сеток (в одномерном случае) и нерегулярных подразделений (в многомерном случае). В качестве таких подразделений могут служить триангуляция поверхности и симплициальное подразделение области. Таким образом, предлагаемые построения приводят к задачам, которые скорее имеют геометрический характер.Используемый подход позволяет рассмотреть сплайновые пространства, ассоциированные с неравномерными сетками на вещественной оси, а также пространства сплайнов или МКЭ на поверхностях и в областях трехмерного евклидова пространства. Построения приобретают простой алгебраический смысл, формулы декомпозиции и реконструкции оказываются достаточно простыми. При этом не требуются метрические пространства и преобразования Фурье (метрика вводится в конце всех построений исключительно для исследования аппроксимационных свойств). При этом в ряде случаев оказывалось, что вложенным сеткам соответствуют вложенные пространства сплайнов. Использование упомянутого подхода в многомерном случае приводит к аналогичному результату: для вложенных симплициальных подразделений в некоторых случаях удается найти вложенные сплайновые (конечно-элементные) пространства (примером являются пространства функций Куранта). 4. Интегрированные процессы управления, наблюдения и связи в сетевых при наличии коммуникационных ограничений: теория и алгоритмы, анализ и синтез. Математическая теория управления и математическая теория информации и связи относятся к выдающимся достижениям современной математики c общепризнанно фундаментальным практическим значением [1,2]. Вместе с тем долгое время они были относительно индифферентны друг к другу. Теория управления занималась анализом поведения управляемых систем и синтезом управляющего воздействия, в основном всего лишь постулируя, что необходимая для реализации выработанных в ней рецептов скорость и качество передачи информации, сколь высокими они не оказались бы, может быть обеспечена на практике. В свою очередь теория информации занималась вопросами передачи и кодирования данных будучи относительно индифферентной к конечной цели этих процессов и полагаясь на “абстрактные” критерии качества. Долгое время такая тематическая дефрагментация себя в общем и целом полностью оправдывала. Вместе с тем тектонические сдвиги в области микроэлектроники, а также сетевых и информационных технологий привели на рубеже тысячелетий к осознанному признанию острой практической необходимости новой междисциплинарной главы математической теории управления, в которой вопросы управления, связи и вычисления изучаются в единстве, явно учитываются все присущие системе управления ограничения, включая ограничения цифровых вычислительных и коммуникационных блоков, и которая переступает через традиционно сложившуюся границу между математическими теориями управления, с одной стороны, и информации и связи, с другой стороны [1,3-9]. Активные исследования в указанном направлении были начаты в конце 1990х и уже в начале 2000х занимали доминирующие позиции на флагманских политематических конференциях IFAC (Международная Федерация Автоматического Управления), таких как конгресс IFAC. В данной области критическое значение имеет фундаментальная информационная характеристика системы управления - минимальная битовая скорость передачи данных, необходимая и достаточная для разрешимости той или иной задачи управления или наблюдения, причем минимум берется по всевозможным алгоритмам управления/наблюдения. Вычисление этой величины дает принципиальный ориентир для разработки оптимальных и субоптимальных алгоритмов передачи информации в системах управления и играет определяющую роль в определении возможности достижения той или иной цели управления в условиях информационных ограничений. На данный момент наиболее полное развитие это направление получило применительно к линейным системам управления. В частности, в различных постановках была найдена упомянутая критическая скорость передачи данных. Соответствующие результаты получили название Теорем о Скорости Передачи Данных (Data Rate Theorems) [8]; авторам данного проекта принадлежат некоторые из них [5,10-15]. При наличии определенных нюансов, эти результаты в разных постановка установили равенство упомянутой минимальной битовой скорости передачи и топологической энтропии разомкнутой системы. Параллельно велась разработка методов оптимального и субоптимального кодирования, где наряду с классическими подходами важную роль играют идеи адаптивной постройки масштаба квантования, статической [16] и динамической [5,17], и динамического инкрементального кодирования [5.17]. Уже на относительно простом материале линейных систем управления была обнаружена определенная недостаточность классической математической теории информации и связи и необходимость ее дальнейшего развития. Это в частности касается шэнноновской концепции емкости зашумленного канала связи, роль которой в обсуждаемой области неоднозначна. С одной стороны она недостаточна для исследования моментной устойчивости стохастической системы, где необходимая новая характеристика (anytime capacity) [18], с другой стороны она вполне адекватна и достаточна при исследовании более слабого свойства устойчивости по вероятности стохастического [5] объекта и устойчивости с вероятностью единица детерминированного объекта [10], которых приобретает стохастические свойства в силу замыкания контура управления через стохастический канал связи. Данный пример демонстрирует, что новая тематическая ориентация способна поставить на повестку дня вопрос о развитии в том числе ключевых компонент классических теорий. Проект предполагает распространить дискуссию о роли шенноновской емкости на нелинейные системы, для которых в случае стохастических каналов связи пока получены лишь начальные продвижения [19.20]. В рассматриваемом смысле область нелинейных систем разработана намного менее полно, причем обнаружилась, что здесь роль топологической энтропии (ТЭ) уже не столь абсолютна. Это привело к появлению серии ориентированных на задачи управления и мотивированных потребностями теории управления неклассических концепций, аналогичных ТЭ. Связь некоторых из них между собой и с ТЭ изучена лишь частично, однако уже известно, что некоторые из них отличны от ТЭ и представляют собой новую характеристику нелинейной динамической системы, и вместе с тем тесно связаны с многими классическими конструкциями и инструментами нелинейной динамики. Учитывая конечную инженерную направленность соответствующей математической теории, первостепенное значение имеет практическая вычислимость предлагаемых ей аналогов ТЭ, конструктивных аналитико-численных методов. Определенных достижений в этом направлении удалось достичь за счет переориентации направления поиска в сторону второго метода Ляпунова и использования методов построения и анализа поведения ляпуновских функций, развитых школой Якубовича-Леонова. Имеется в виду продолжить исследования в этом направлении, в частности, за счет анализа возможностей инструментов классической нелинейной динамики, таких, как, аппарат теории размерности (ляпуновской, хаусдорфовой, и т.п.), с целью разработки методов повышенной эффективности и завершенности. Намеченное изучение минимальной битовой скорости передачи данных, потребной для решения той или иной задачи управления, тесно связано с разработкой теоретических основ оптимального или субоптимального кодирования информации для передачи в контурах управления. Имеющиеся исследования этого вопроса в области нелинейных систем в целом пока неоправданно, на наш взгляд, доминированы рецептами, отработанными в случае линейных систем. В проекте предполагается критически переосмыслить эту практику (например, инкрементальное кодирование) для разработки более эффективных решений.Библиография1. Теория управления. Дополнительные главы. Ред. Чл.-корр РАН Д.А. Новикова, Ленанд, Москва, 20192. S. Verdu, "Fifty years of Shannon theory," in IEEE Transactions on Information Theory, vol. 44, no. 6, pp. 2057-2078, Oct. 1998, doi: 10.1109/18.720531.3. P. Antsaklis and J. Baillieul. Special issue on the technology of networked control systems. Proceedings of the IEEE, 95(1), 2007.4. M.S. Mahmoud. Control and Estimation Methods over Communication Networks. Springer, Heidelberg, 2014.5. A. S. Matveev and A. V. Savkin. Estimation and Control over Communication Networks. Birkhauser, Boston, 2009.6. R. Murray. Control in an information rich world: Report of the panel on future directions in control, dynamics, and systems, 2002.7. S. Yuksel and T. Basar. Stochastic Networked Control Systems: Stabilization and Optimization under Information Constraints. Birkhauser, Boston, 2013.8. G. N. Nair, F. Fagnani, S. Zampieri, and R. J. Evans. Feedback control under data rate constraints: an overview. Proceedings of the IEEE, 95(1):108–137, 20079. B.R. Andrievsky, A.S. Matveev, and A.L. Fradkov. Control and estimation under information constraints: Toward a unified theory of control, computation and communications. Automation and Remote Control, 71(4):572–633, 201010. A.S Matveev, A.V.. Savkin. An Analogue of Shannon Information Theory for Detection and Stabilization via Noisy Discrete Communication Channels // SIAM J. Control and Optimization. 2007. Vol. 46, no. 4. P. 1323–1361.11. A.S Matveev, A.V. Savkin. Comments on “Control over Noisy Channels” and Relevant Negative Results // IEEE Trans. Automat. Contr. 2005. Vol. 50, no. 12. P. 2105–2110.12. A.S.Matveev, A.V. Savkin, Shannon Zero Error Capacity in the Problems of State Estimation and Stabilization via Noisy Communication Channels // Intern. J. Control. 2007. Vol. 80, no. 2. P. 241–255.13. A.S. Matveev and A.V. Savkin, Multi-rate Stabilization of Linear Multiple Sensor Systems via LimitedCapacity Communication Channels, SIAM Journal on Optimization and Control, Vol.44 (2005), No.2, pp.584-618.14. A.S. Matveev, State Estimation via Limited Capacity Noisy Communication Channels, Mathematicsof Control, Signals, and Systems, Vol. 20, No. 1, 2008, pp.1-3515. A.S. Matveev and A.V. Savkin, Stabilization of networked systems under computational power constraints, the European Journal of Control, (2009) 3, pp. 461-47916. N. Elia and S. K. Mitter, "Stabilization of linear systems with limited information," in IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 46, no. 9, pp. 1384-1400, Sept. 200117. R. Brockett & D. Liberzon, D. (2000). Quantized feedback stabilization of linear systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 45, 1279–1289.18 A. Sahai and S. Mitter. The necessity and sufficiency of anytimecapacity for stabilization of a linear system over noisy communication links—Part I: Scalar Systems // IEEE Trans. Inform. Theory. 2006. Vol. 52, no. 8. P. 3369–339519 S. Yuksel, Stationary and ergodic properties of stochastic nonlinear systems controlled over communication channels, SIAM Journal on Control and Optimization, 54 (2016), pp. 2844–2871.20 C. Kawan and S. Yuksel. Metric and topological entropy bounds for optimal coding of stochastic dynamical systems. IEEE Transactions on Automatic Control. (2019) DOI: 10.1109/TAC.2019.2937732.21 A.S. Matveev and A. Pogromsky, Observation of nonlinear systems via nite capacity channels: Constructive data rate limits, Automatica Volume 70, 1 August 2016, Pages 217-22922 A.S. Matveev amd A.Y. Pogromskii, Observation of nonlinear systems via finite capacity channels, PartII: Restoration entropy and its estimates, Automatica, Vol. 103 (2019) pp. 189-19923 A. Ephremides and B. Hajek, "Information theory and communication networks: an unconsummated union," in IEEE Transactions on Information Theory, vol. 44, no. 6, pp. 2416-243424 L. Pecora, T, Carroll(1998), "Master stability functions for synchronized coupled systems", Physical Review Letters, 80 (10): 2109–21124.3.7.6.Предлагаемые методы и подходы, общий план работы на весь срок выполнения проекта.В проекте будут использованы как классические методы качественной теории дифференциальных уравнений, разработанные Пуанкаре, Ляпуновым, Крыловым, Боголюбовым, Андроновым так и аналитико-численные методы, разработанные коллективом научной школы:метод обоснования нестационарной линеаризации и построения систем Перроновского типапринцип рыбака (fishing principle) локализации гомоклинических траекторийметод подвижного сечения Пуанкареметод нелокального сведенияи другиеДля анализа отсутствия колебаний и устойчивости динамических систем с неединственным состоянием равновесия (в том числе разрывных и с цилиндрическим фазовым пространством) будут использоваться аналоги классических теорем ляпуновского типа и абсолютной устойчивости, разработанные вYakubovich V.A., Leonov G.A., Gelig A.Kh., Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities, World Scientific, 2004Для локализации скрытых аттракторов будут развиваться как классические методы Ляпунова, Левинсона, так и современные методы гомотопии и продолжимости по параметру, нулей ускорения (perpetual points). Эффективность применения этих методов для анализа скрытых колебаний продемонстрирована в обзорных статьях исполнителей проекта:Dudkowski, D., Jafari, S., Kapitaniak, T., Kuznetsov, N.V., Leonov, G.A., Prasad, A., Hidden attractors in dynamical systems, Physics Reports, 637, 2016, 1–50 (http://dx.doi.org/10.1016/j.physrep.2016.05.002)Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Mokaev T.N., Homoclinic orbits, and self-excited and hidden attractors in a Lorenz-like system describing convective fluid motion, European Physical Journal Special Topics, Vol. 224, 2015, 1421-1458 (http://dx.doi.org/10.1140/epjst/e2015-02470-3)N.V. Kuznetsov, T.N. Mokaev, O.A. Kuznetsova, E.V. Kudryashova, The Lorenz system: hidden boundary of practical stability and the Lyapunov dimension, has been accepted for publication in Nonlinear Dynamics, Nonlinear dynamics (Special Issue of Nonlinear Dynamics “Chaos theory and applications: A retrospective on lessons learned and missed”), 2020 (10.1007/s11071-020-05856-4).Для оценки энтропии, фрактальной и ляпуновской размерности аттракторов динамических систем будут использоваться как классические методы Дуади-Остерле, Ханта, Смита, так и методы аналитического оценивания, разработанные коллективом научной школы. Эффективность применения этих методов для анализа скрытых колебаний продемонстрирована в обзорных статьях и монографиях исполнителей проекта:N.V. Kuznetsov, The Lyapunov dimension and its estimation via the Leonov method, Physics Letters A, Vol. 380, Is. 25–26, 2016, 2142–2149 (http://dx.doi.org/10.1016/j.physleta.2016.04.036)Леонов Г.А., Функции Ляпунова в теории размерности аттракторов, Прикладная математика и механика, том 76, вып. 2, 2012, стр. 180-196N.V. Kuznetsov, V. Reitmann. Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation (Dedicated to Gennady Leonov), Springer, 2021, https://www.springer.com/gp/book/9783030509866N. Kuznetsov, G. Leonov, T. Mokaev, A. Prasad, M. Shrimali, Finite-time Lyapunov dimension and hidden attractor of the Rabinovich system. Nonlinear Dynamics 92(2), 267-285 (2018). DOI 10:1007/s11071-018-4054-zОдна из целей интеллектуальной обработки числовой информации состоит в разработке нового проекционного анализа информации, предусматривающего адаптивное представление исходного информационного потока сложной структуры в виде основного и уточняющего потоков. При этом ставятся следующие задачи.1. Ставится задача создания алгоритмов адаптивного представления поступающих исходных потоков сложной структуры, реализующих упомянутые представления без решения систем линейных или нелинейных уравнений.2. Будет решена задача получения основного потока с определенными оптимальными свойствами.3. Одной из решаемых задач является определение структурных характеристик основного и уточняющего информационных потоков, соответствующих структурным характеристикам исходного потока.4. Ставится задача поддержания локальности алгоритмов и результирующих потоков.5. Для оценки качества полученных результатов ставятся следующие задачи: а) задача оценки относительного сжатия информации, б) задача оценки степени адаптивности.6. После получения основного потока может возникнуть задача полного или частичного восстановления исходного потока; эта задача должна решаться при полной или частичной передаче уточняющего потока (соответственно),Выполнение проекта будет сопровождаться оценками эффективности алгоритмов (по быстродействию и памяти) с учетом характеристик используемой коммуникационной среды параллельной вычислительной системы.При исследовании проблем управления/наблюдения при ограничении на битовую скорость передачи данных и при разработке связанных эффективных методов кодирования информации будут применяться подходы, основанные на инкрементальном кодировании данных и адаптивной динамической постройке шага квантования, а также на идеях второго метода Ляпунова. Их эффективность продемонстрирована в частности в следующих работах авторов проекта:1. A. S. Matveev and A. V. Savkin. Estimation and Control over Communication Networks. Birkhauser, Boston, 2009.2. A.S Matveev, A.V.. Savkin. An Analogue of Shannon Information Theory for Detection and Stabilization via Noisy Discrete Communication Channels // SIAM J. Control and Optimization. 2007. Vol. 46, no. 4. P. 1323–1361.3. A.S Matveev, A.V. Savkin. Comments on “Control over Noisy Channels” and Relevant Negative Results // IEEE Trans. Automat. Contr. 2005. Vol. 50, no. 12. P. 2105–2110.4. A.S.Matveev, A.V. Savkin, Shannon Zero Error Capacity in the Problems of State Estimation and Stabilization via Noisy Communication Channels // Intern. J. Control. 2007. Vol. 80, no. 2. P. 241–255.5. A.S. Matveev and A.V. Savkin, Multi-rate Stabilization of Linear Multiple Sensor Systems via Limited Capacity Communication Channels, SIAM Journal on Optimization and Control, Vol.44 (2005), No.2, pp.584-618.6. A.S. Matveev, State Estimation via Limited Capacity Noisy Communication Channels, Mathematics of Control, Signals, and Systems, Vol. 20, No. 1, 2008, pp.1-357. A.S. Matveev and A.V. Savkin, Stabilization of networked systems under computational power constraints, the European Journal of Control, (2009) 3, pp. 461-479Общий план работы на весь срок выполнения проекта и ожидаемые результаты:2021Обзор и систематизация имеющихся публикаций – статей в ведущих зарубежных и российских научных журналах и монографиях по тематике исследуемой проблемы, охватывающие научные информационные источники за последние десять лет; Разработка алгоритмов обработки исходных потоков, ассоциированных с плоской областью, тором, сферой. Будет дано теоретическое обоснование полученных результатов, а также исследована устойчивость алгоритмов относительно вариации исходных данных и относительно ошибок округления. Будут установлены связи теоретических исследований с проблемами создания искусственного интеллекта.2022Применение разработанных методов для анализа устойчивости и скрытых аттракторов в различных прикладных физических, электронных, механических и других моделях; Разработка алгоритмов обработки исходных потоков, ассоциированных с трехмерными областями различной формы (параллелепипедом, сферой, сферическим слоем). Предусматривается исследование получаемых алгоритмов на устойчивость. Будут рассмотрены полученные алгоритмы с точки зрения их применения для создания искусственного интеллекта Будут предложены реализации на параллельных системах (определены необходимые компьютерные ресурсы в зависимости от параметров исходного потока).2023Обобщение полученных результатов, проведение дополнительных исследований, обсуждение дальнейших направлений исследования и нерешенных задач; Проведение патентного поиска. Анализ возможности внедрения полученных результатов;Компьютерная реализация алгоритмов, разработанных на предыдущих этапах. Создание пакетов программ для потоков, ассоциированных с одномерными и двумерными объектами, рассмотренными на предыдущих этапах. Вопросы применения полученных результатов к разработке проблем создания искусственного интеллекта. Теоретическое исследование влияния коммуникационных сред многоядерных компьютеров и сравнение теоретических выводов с получаемыми на практике при реализации вычислений с использованием разработанных программ.4.3.7.7.Имеющийся у коллектива исполнителей научный задел по проекту (в данном пункте заполняется текстовое описание задела, а размещение прочей подтверждающей информации описано в п. 4.3.20)Научным заделом в исследовании проблемы локализации скрытых колебаний в динамических системах являются уже разработанные в коллективе исполнителей проекта эффективные аналитико-численные методы анализа границ глобальной устойчивости и поиска скрытых колебаний, составляющие основу Теории скрытых колебаний (см., например, G. Leonov, N. Kuznetsov, Time-Varying Linearization and the Perron effects, International Journal of Bifurcation and Chaos, 17(4), 2007, 1079-1107 (https://doi.org/10.1142/S0218127407017732).G. Leonov, N. Kuznetsov, Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits, International Journal of Bifurcation and Chaos, 23(1), 2013, art. no. 1330002 (http://dx.doi.org/10.1142/S0218127413300024).Н.В. Кузнецов, Теория скрытых колебаний и устойчивость систем управления, Известия РАН. Теория и систему управления, №5, 2020 (http://apcyb.spbu.ru/wp-content/uploads/2020-rus-TISURAN-Theory-hidden-oscillations-Control-systems.pdf) видео: https://www.youtube.com/watch?v=843m-rI5nTM (на русском), https://youtu.be/piiQC8bqai8 (in English).) а также совместные работы исполнителей проекта по применению эволюционных вычислений для анализа хаотического поведения в экономических системах, начатые в сотрудничестве с проф. И. Зелинкой (см., например,Т.А. Алексеева, И. Зелинка, Т.Н. Мокаев, Ю.А. Польщикова, Прогнозирование и управление в модели перекрывающихся поколений, Труды 13-ой Мультиконференции по проблемам управления (МКПУ-2020), 2020 г.)Имеющийся научный задел по интеллектуальной обработке цифровой информации тесно связан с теорией минимальных сплайнов, которая разрабатывалась последние десятилетия прошлого столетия (см. монографию Ю.К.Демьяновича «Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны» (СПб, 1994, 356 с.), а ее дальнейшее развитие -- в монографии И.Г.Буровой и Ю.К.Демьяновича «Теория минимальных сплайнов» (СПб, 2000. 317 с.). Вейвлетное разложение вложенных пространств сплайнов на неравномерной сетке было получено в заметке, помещенной в Докладах РАН (2002. Т.382, №3). Условия гладкости сплайновых пространств и их всплесковые разложения были рассмотрены в 2005 году (Ю.К.Демьянович, Доклады РАН.2005. Т.401, №4). Дальнейшие исследования в этом направлении привели к рассмотрению специальных оснащений дифференцируемых многообразий и к построениям всплесковых разложений на этих многообразиях (Ю.К.Демьянович, Доклады РАН.2009. Т.77, №2). В монографии И.Г.Буровой, Ю.К.Демьяновича и Т.О.Евдокимовой «Сплайн-всплески и их реализация» (СПб. 2017) нашли отражение новые результаты. В частности, там рассмотрена адаптивная сплайн-вейвлетная аппроксимации, гнездовые разложения и разложения курантова типа. Все эти работы являются научным заделом для осуществления данного проекта.Научным заделом в исследовании проблемы оценки размерностных характеристик хаотических аттракторов динамических систем является разработанные коллективом исполнителей проекта эффективные аналитические и численные методы оценки показателей Ляпунова, ляпуновской размерности и топологической энтропии (см., например,N.V. Kuznetsov, V. Reitmann, Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation (Dedicated to Gennady Leonov), Springer, 2021, https://www.springer.com/gp/book/9783030509866N. Kuznetsov, G. Leonov, T. Mokaev, A. Prasad, M. Shrimali, Finite-time Lyapunov dimension and hidden attractor of the Rabinovich system. Nonlinear Dynamics 92(2), 267-285 (2018). DOI 10:1007/s11071-018-4054-zA.S. Matveev and A.Y. Pogromskii, Observation of nonlinear systems via finite capacity channels, PartII: Restoration entropy and its estimates, Automatica, Vol. 103 (2019) pp. 189-199.N.V. Kuznetsov, T.N. Mokaev, O.A. Kuznetsova, E.V. Kudryashova, The Lorenz system: hidden boundary of practical stability and the Lyapunov dimension, has been accepted for publication in Nonlinear Dynamics, Nonlinear dynamics (Special Issue of Nonlinear Dynamics “Chaos theory and applications: A retrospective on lessons learned and missed”), 2020 (10.1007/s11071-020-05856-4). )Из сказанного ясно, что полученные результаты, разработанные программы и методы, а также информационные ресурсы, имеющиеся в распоряжении коллектива, достаточны для реализации проекта.Имеющийся научный задел в области интегрированной теории управления/наблюдения, связи и вычислений при ограничениях на скорость передачи/обработки информации в динамических системах состоит в уже разработанных и апробированных авторами проекта эффективных методах исследования соответствующих вопросов и полученных ими результатах, расширивших горизонты понимания тематики. О международном признании и качестве задела свидетельствует изданная ведущим мировым издателем научной литературы исследовательская монография A. S. Matveev and A. V. Savkin. Estimation and Control over Communication Networks. Birkhauser, Boston, 2009систематизирующая достижения авторов и являющаяся по-видимому первой в мире монографией в затронутой области. О том же свидетельствует серия публикаций в ведущих международных журналах первой квартили Q1, например,1 A.S Matveev, A.V.. Savkin. An Analogue of Shannon Information Theory for Detection and Stabilization via Noisy Discrete Communication Channels // SIAM J. Control and Optimization. 2007. Vol. 46, no. 4. P. 1323–1361. 2. A.S Matveev, A.V. Savkin. Comments on “Control over Noisy Channels” and Relevant Negative Results // IEEE Trans. Automat. Contr. 2005. Vol. 50, no. 12. P. 2105–2110.3. A.S.Matveev, A.V. Savkin, Shannon Zero Error Capacity in the Problems of State Estimation and Stabilization via Noisy Communication Channels // Intern. J. Control. 2007. Vol. 80, no. 2. P. 241–255.4. A.S. Matveev and A.V. Savkin, Multi-rate Stabilization of Linear Multiple Sensor Systems via Limited Capacity Communication Channels, SIAM Journal on Optimization and Control, Vol.44 (2005), No.2, pp.584-618.5. A.S. Matveev and A.V. Savkin, Stabilization of networked systems under computational power constraints, the European Journal of Control, (2009) 3, pp. 461-4796. A.S. Matveev and A. Pogromsky, Observation of nonlinear systems via nite capacity channels: Constructive data rate limits, Automatica Volume 70, 1 August 2016, Pages 217-2297. A.S. Matveev amd A.Y. Pogromskii, Observation of nonlinear systems via finite capacity channels, PartII: Restoration entropy and its estimates, Automatica, Vol. 103 (2019) pp. 189-199 4.3.7.8.Детальный план работы на первый год выполнения проекта.Разработка аналитико-численных подходов к решению задачи исследования потери устойчивости и рождения скрытых колебаний, которые основаны на технологиях ИИ и применении эволюционных вычислений, а также базируются на аналитических методах (например, методе гармонического баланса и описывающей функции), численных методах (например, методами фазового пространства, продолжения по параметру). Разработка новых классов целевых функций для эффективного решения данной задачи.Применение данных подходов для исследования прикладных динамических моделей (в механике, электронике, экономике).Разработка конструктивных аналитико-численных подходов к решению задачи наблюдения за поведением сложной нелинейной динамической системы при ограничениях на битовую скорость передачи данных. Применение данных подходов для исследования конкретных систем. Подготовка начальных публикаций по проекту. Ожидаемые научные результаты на первом этапе реализации проекта: Будут разработаны новые эффективные аналитико-численные алгоритмы поиска скрытых колебаний, основанные на эволюционных вычислениях.Разработанные алгоритмы будут применяться для поиска скрытых колебаний в различных прикладных динамических системах с дискретным и непрерывным временем.Разработка алгоритмов сплайн-вейвлетного разложения для плоской области, тора и сферы, а также для сферического слоя при моделировании искусственного интеллекта. Реализация аппроксимаций курантова типа. Аппроксимации зламалова типа, их реализация.Разработка интегро-дифференциальных сплайнов и их реализации. Аппроксимации лагранжева типа. Вейвлетные разложения в эрмитовом случае.Разработка параллельных алгоритмов для перечисленных аппроксимаций и вейвлетных разложений. Сравнительная оценка времени компьютерной реализации (runtime) и необходимого объема памяти при последовательном и параллельном алгоритмах. Применение результатов к проблеме моделирования искусственного интеллекта.Будут получены новые результаты, касающиеся разработки конструктивных аналитико-численных подходов к решению задачи наблюдения за поведением сложной нелинейной динамической системы при ограничениях на битовую скорость передачи данных. Разработанные алгоритмы будут применены в исследовании конкретных прототипических нелинейных динамических систем.
4.3.7.9.Ожидаемые научные и (или) научно-технические результаты (без перечисления указанных в п.п. 4.3.11, 4.3.13, 4.3.14) и их научная значимость (например, оценка соответствия запланированных результатов мировому уровню исследований, возможность практического использования запланированных результатов).Все запланированные в проекте результаты будут соответствовать мировому уровню. Интерес мирового сообщества к развиваемым коллективом под руководством Н.В. Кузнецова подходам и их актуальность для НТР РФ подтверждается следующим. В 2020 году Ведущая научная школа, возглавляемая Н.В. Кузнецовым, стала одной из 2-х в области знаний “математика и механика” (https://grants.extech.ru/grants/res/winners.php?OZ=1&TZ=S&year=2020) и вошла в список из 22-х Ведущих научных школ по приоритетному направлению научно-технологического развития Российской Федерации “Переход к передовым цифровым, интеллектуальным производственным технологиям, роботизированным системам, новым материалам и способам конструирования, создание систем обработки больших объемов данных, машинного обучения и искусственного интеллекта” (https://grants.extech.ru/grants/res/winners_2020.php?sntr=1&TZ=S&year=2020). Междисциплинарные научные исследования, проводимые на Кафедре прикладной кибернетики Математико-механического факультета СПбГУ, оказались не только актуальными для научно-технологического развития Российской Федерации, но и вызвали интерес и широкий отклик международного научного сообщества. Так в прошлом году руководители кафедры Г.А. Леонов и Н.В. Кузнецов были включены в глобальный список Highly Cited Researchers по данным Web of Science, где из более чем 6000 ученых только 10 ученых представляют Россию. Наличие статуса Highly Cited Researchers при составлении Шанхайского рейтинга университетов (ARWU) оценивается наравне с Медалью Филдса и Нобелевской премией. Уникальный потенциал ведущих научных школ Математико-механического факультета СПбГУ, его современные образовательные программы, признанные успехи ключевых сотрудников, а также накопленный опыт многолетнего сотрудничества с иностранными партнерами создают надежный потенциал успешной реализации проекта и его существенного вклада в реализацию стратегии инновационного развития СПбГУ, в закрепление и продвижение глобальной лидирующей позиции СПбГУ в затронутой предметной области, в развитие международных связей и повышение престижа СПбГУ, в подготовку высококвалифицированных специалистов мирового уровня, а также в диверсификацию направлений исследований СПбГУ с целью решения актуальных теоретических и междисциплинарных прикладных задач в рамках стратегии научно-технологического развития РФ.В области интеллектуальной обработки числовой информации и визуализации результатов ожидаются следующие результаты. Для исходных потоков, ассоциированных с плоской областью, тором, сферой будут разработаны адаптивные алгоритмы разложения на основную и уточняющую (вейвлетную) часть. Будет дано теоретическое обоснование полученных результатов, а также исследована устойчивость алгоритмов относительно вариации исходных данных и относительно ошибок округления. Будут также предложены подобные алгоритмы обработки исходных потоков, ассоциированных с трехмерными областями различной формы (параллелепипедом, сферой, сферическим слоем). Предусматривается исследование получаемых алгоритмов на устойчивость. Для упомянутых алгоритмов будут разработаны параллельные формы для их реализации на параллельной системе. Будут определены необходимые компьютерные ресурсы в зависимости от параметров исходного потока.Разработанные алгоритмы будут реализованы в виде компьютерных программ, предназначенных для работ в последовательном и параллельном режимах.Предполагается создание пакетов программ, использующих разработанные алгоритмы. Планируется их государственная регистрация и внедрение.Будут даны теоретические оценки ресурсоемкости разработанных алгоритмов и будет проведено сравнение теоретических оценок с результатами практической реализации.
4.3.7.10.Планируемый объем дополнительно привлеченных средств из внешних по отношению к СПбГУ источников за весь период выполнения проекта. Требуемое, согласно конкурсной документации, софинансирование (п.3.2.2.1 и п. 3.2.3.1) в размере 4 млн. рублей будет получено за счет планируемых к получению средств этапов 2021 года грантов РНФ (PURE ID = 50456460 ) и Ведущей научной школы РФ (PURE ID = 52381631). Дополнительно по итогам первого года выполнения НИР руководителем и исполнителями НИР будут поданы заявки на финансирование исследований и/или разработок по исследовательской теме в 2021-2022 гг. из внешних по отношению к СПбГУ источников (гранты научных фондов, договора с организацией, пожертвования и т.п.) общим объемом не менее общей суммы финансирования НИР в 2021 году из средств СПбГУ. Эта информация отражена в Анкете заявки в пункте “Планируемое финансирование научной темы” в строке “(Основное финансирование) бюджетов государственных внебюджетных фондов Российской Федерации”: 0 млн. руб. за 2021, 1 млн. руб. за 2022 год, 3 млн. руб. за 2023г. Эти данные должны восприниматься, как отражение полученного софинансирования накопленным итогом не менее, чем 1 млн. руб. концу 2022 года и не менее 4 млн. руб. к концу 2023 года.
Short titleGZ-2021
AcronymM3_2021 - 1
StatusActive
Effective start/end date22/03/2131/12/21