Развитие асимптотических и спектральных методов исследования периодических и почти-периодических дифференциальных операторов: 2021 г. этап 5

Project: Grant fulfilmentGrant stage fulfilment

Project Details

Description

Цель предлагаемого проекта – развитие новых и оригинальных методов спектральной теории и
асимптотического анализа для исследования периодических и почти периодических операторов.
Наши усилия будут направлены на изучение (I) задач теории усреднения (гомогенизации), (II)
спектральных свойств дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами, (III)
свойств разностных операторов с почти периодическими коэффициентами.
I. Теория усреднения
Теория усреднения изучает свойства решений дифференциальных уравнений с быстро
осциллирующими коэффициентами в пределе малого периода. В операторных терминах речь идет
о поведении функций: резольвенты, операторной экспоненты, операторного косинуса – от
эллиптического оператора с быстро осциллирующими (периодическими либо локально
периодическими) коэффициентами. В пределе малого периода функция от такого оператора
сходится к соответствующей функции от эффективного оператора. Нашей целью является
получение «операторных оценок» погрешности для целого ряда задач гомогенизации. В том числе
планируется изучить усреднение операторов с чисто периодическими коэффициентами:
эллиптических операторов высокого порядка во всем d-мерном пространстве и в ограниченной
области, оператора Максвелла в ограниченной области, а также нестационарной системы
Максвелла в трехмерном пространстве.
II. Спектральная теория периодических дифференциальных операторов
Хорошо известно, что спектр самосопряженного эллиптического дифференциального оператора
с периодическими коэффициентами, который действует в L_2(R^d), является объединением
счетного числа отрезков – спектральных зон (зонная структура спектра). Между зонами могут
быть лакуны; зоны могут вырождаться в точки – тогда появляются бесконечнократные
собственные значения. Возникают два естественных вопроса: 1) могут ли быть вырожденные
зоны или спектр абсолютно непрерывен? 2) конечно или бесконечно количество лакун в спектре?
Нашей целью является изучение этих вопросов для оператора Максвелла с периодическими
коэффициентами.
III. Спектральная теория почти периодических разностных операторов
Считается, что спектры широкого класса почти периодических операторов являются
канторовыми множествами (замкнутыми нигде не плотными множествами без изолированных
точек). Одной из трудных и важных задач является получение конструктивного описания спектра
почти периодического оператора, аналогичного описанию классического канторова множества. По
выражению Барри Саймона, важнейшей лабораторией в теории почти периодических операторов
является оператор почти-Матье. Это одномерный разностный оператор Шрёдингера с
потенциалом v(n)=α cos(2π(ω n+θ)), где α, ω и θ – постоянные, а n – целочисленная переменная.
Он является моделью электрона в кристалле, помещенном в постоянное магнитное поле. Недавно
после многолетних усилий известных математиков было доказано, что для иррациональных
значений частоты ω спектр такого оператора канторов.








Layman's description

В 2021 году проводились исследования по трем основным направлениям проекта.

I. Теория усреднения
Рассмотрены задачи об усреднении решений эллиптических, параболических и гиперболических дифференциальных уравнений с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами. Получены аппроксимации решений в пределе малого периода с точными по порядку оценками погрешностей. Изучались также задачи об усреднении стационарной и нестационарной системы Максвелла.

II. Спектральная теория периодических дифференциальных операторов

Рассматривалось уравнение Шрёдингера в полуцилиндре с ограниченным потенциалом и периодическими граничными условиями. При d ≥ 3 (d – размерность сечения) мы построили пример нетривиального решения u, убывающего как exp(-c x^{4/3}), c > 0. Более быстрое убывание невозможно.

Для дискретных операторов Шрёдингера на решётке с периодическими потенциалами естественным аналогом гипотезы Бете—Зоммерфельда является утверждение о том, что спектр оператора не имеет лакун при достаточно малых потенциалах с данной решёткой периодов. Получено полное описание решёток, для которых верен указанный факт. Кроме того, доказано, что для широкого класса решёток размерность поверхностей Ферми дискретных операторов Шрёдингера, соответствующих краям зон, не превышает d-2.

Рассматривался оператор Максвелла в трехмерном пространстве и его эллиптическое расширение. Предполагалось, что диэлектрическая и магнитная проницаемости среды – скалярные положительные периодические функции, произведение которых постоянно. Показано, что для расширенного оператора Максвелла выполняется аналог гипотезы Бете–Зоммерфельда, то есть количество лакун в его спектре конечно.

III. Спектральная теория почти периодических разностных операторов

Исследовался дискретный оператор Шрёдингера с потенциалом вида λ v(ωk+θ),
где k – целочисленная переменная, v – 1-периодическая функция, параметры λ > 0, 0 < ω < 1, 0 ≤ θ < 1 – это константа связи, частота и эргодический параметр. Считаем, что частота ω иррациональна. Тогда потенциал является квазипериодическим. Исследованы различные модели – оператор почти-Матье (v(x) = 2 cos(2πx)), оператор с v(x) = exp(-2πi x). Получено описание лакун и интегрированной плотности состояний в различных асимптотических режимах.

Key findings for the stage (summarized)

В 2021 году были получены следующие результаты по трем основным направлениям проекта.

I. Теория усреднения

Пусть A_ε – матричный эллиптический оператор в R^d порядка 2p, p ≥ 2, с периодическими коэффициентами, зависящими от x/ε. Здесь ε > 0 – малый параметр.

1. Найдена аппроксимация резольвенты оператора A_ε по операторной норме в L_2 с оценкой погрешности порядка ε^{2p}.

2. Получена аппроксимация полугруппы exp(-A_ε t), t > 0, по операторной норме в L_2 с оценкой погрешности порядка ε^{2p} t^{-1}. Результаты применены к вопросу об аппроксимации решения задачи Коши для параболического уравнения du_ε/dt = - A_ε u_ ε.

3. Изучалось поведение оператор-функций cos(t A_ε^{1/2}) и A_ε^{-1/2}sin(t A_ε^{1/2}). Показано, что при ε → 0 эти оператор-функции сходятся к аналогичным оператор-функциям от эффективного оператора A^0 в подходящих операторных нормах. При фиксированном t порядок погрешностей O(ε) – точный. Результаты применены к вопросу об аппроксимации решения задачи Коши для гиперболического уравнения d^2u_ε/dt^2 = - A_ε u_ε.

4. Исследовано усреднение нестационарной системы Максвелла в R^3. Предполагалось, что диэлектрическая проницаемость задается периодической матрицей η(x/ε), а магнитная проницаемость – постоянной положительной матрицей μ. Матрица η(x) ограничена и положительно определена. Найдены аппроксимации решений по норме в L_2. Погрешности имеют точный порядок O(ε) при фиксированном t, если начальные данные принадлежат подходящим классам Соболева.

5. Пусть A_ε – одномерный эллиптический оператор второго порядка с периодическими коэффициентами, зависящими от x/ε. Пусть E_ε – спектральный проектор оператора A_ε для полуоси [ε^{-2} ν, ∞), где ε^{-2} ν – правый край некоторой спектральной лакуны. Получена аппроксимация оператора exp(-A_ε t) E_ε при фиксированном t > 0 и малом ε.

6. Исследовано усреднение решений начально-краевой задачи Неймана для параболического уравнения с матричным локально периодическим эллиптическим оператором A_ε = D* a(x,x/ε) D в ограниченной области с достаточно гладкой границей. Найдены приближения при фиксированном t > 0 и ε → 0 для полугруппы exp(-t A_ε) по операторным нормам из L_2 в L_2 и из L_2 в H^1. При данном t погрешности имеют порядки O(ε) и O(ε^{1/2}) соответственно.

7. Изучено усреднение стационарной системы Максвелла в R^3, когда магнитная проницаемость постоянная, а диэлектрическая проницаемость задается быстро осциллирующей локально периодической матрицей-функцией вида η(x,x/ε). Для всех физических полей получены приближения по норме в L_2 с погрешностями порядка O(ε).

8. Исследована регулярность решения уравнения Прандтля на интервале (-1,1). В терминах специального интегрального преобразования на отрезке вводится интерполяционная шкала пространств X^s. Установлена теорема существования и единственности решения в классах X^s при 0 ≤ s ≤ 1, вместе с оценками нормы решения через норму правой части.

II. Спектральная теория периодических дифференциальных операторов

1. Рассматривалось уравнение –Δu(x,y) + V(x,y)u(x,y) = 0 в полуцилиндре [0,∞)x(0,a)^d. На боковой поверхности ставятся периодические граничные условия; потенциал V ограничен. При d ≥ 3 мы построили пример нетривиального решения u, убывающего как exp(-c x^{4/3}), c > 0. Более быстрое убывание невозможно.

2. Для дискретных операторов Шрёдингера на Z^d с периодическими потенциалами естественным аналогом гипотезы Бете—Зоммерфельда является утверждение о том, что спектр оператора не имеет лакун при достаточно малых потенциалах с данной решёткой периодов (содержащейся в Z^d). Получено полное описание решёток, для которых верен указанный факт. Кроме того, доказано, что для широкого класса решёток размерность поверхностей Ферми дискретных операторов Шрёдингера, соответствующих краям зон, не превышает d-2.

3. Рассматривался оператор Максвелла в R^3 и его эллиптическое расширение. Предполагалось, что диэлектрическая и магнитная проницаемости среды – скалярные положительные периодические функции класса C^2, произведение которых постоянно. Показано, что для расширенного оператора Максвелла выполняется аналог гипотезы Бете–Зоммерфельда, то есть количество лакун в его спектре конечно.

III. Спектральная теория почти периодических разностных операторов

Исследовался дискретный оператор Шрёдингера
(H f)(k) = f(k+1) + f(k-1) + λ v(ωk+θ) f(k),
где k – целочисленная переменная, v – 1-периодическая функция, параметры λ > 0, 0 < ω < 1, 0 ≤ θ < 1 – это константа связи, частота и эргодический параметр. Частота ω иррациональна. В этом случае функция k → v(ωk+θ) является квазипериодической. Определим последовательность ω(l+1) = {1/ω(l)}, l = 0, 1, 2, …, где ω(0) = ω, а {.} – дробная часть. Положим p(L) = ω(0)ω(1)...ω(L-1) при L > 0 и p(0) = 1.

1. Рассматривался оператор почти-Матье – оператор H с v(x) = 2 cos(2πx). Предполагалось, что существует число K = K(ω) > 0, такое что ω(L+1), ω(L) ≥ K p(L) для всех L = 0, 1, 2, ... Это условие выполнено для почти всех частот ω. При λ→0 мы асимптотически описали длины интервалов, содержащихся в спектральных лакунах оператора H, и вычислили значения интегрированной плотности состояний на этих интервалах. Показано, что каждый из них асимптотически совпадает с лакуной, в которой содержится, и получены прямые доказательства того, что все лакуны открыты, а их длины экспоненциально убывают с ростом номера.

2. Изучался оператор почти-Матье с константой связи λ < 1 и таким ω, что все числа ω(L) exp(-ln λ / p(L)) достаточно малы и достаточно быстро стремятся к нулю, когда L стремится к бесконечности. Это возможно для множества частот нулевой меры. При этом спектр сингулярно непрерывен. Используя квазиклассические методы, мы асимптотически описали лакуны в спектре.

3. В рамках метода монодромизации исследован оператор Шрёдингера H с v(x) = exp(-2πi x). Для всех иррациональных ω описана геометрия спектра, вычислен показатель Ляпунова на спектре, описана область значений параметров, для которых существует точечный спектр, и построены собственные функции.

4. Пусть 1-периодическая функция v мероморфна в конечной окрестности вещественной оси. Для разностного уравнения Шрёдингера g(x+ω) + g(x-ω) + λ v(x) g(x) = E g(x) асимптотически исследована матрица монодромии.

5. Звуковое поле в прибрежной зоне океана описывается уравнением Гельмгольца в полуплоскости с граничным условием Дирихле. Показатель преломления принимает два значения, большее – в угле малого раствора («водном клине»). Исследуются нормальные волны – решения, локализованные внутри клина. Получены равномерные асимптотические формулы, описывающие перестройку асимптотики нормальной волны при приближении к вершине клина.

Academic ownership of participants (text description)

Руководитель проекта Суслина Татьяна Александровна, профессор СПбГУ, занималась исследованиями в области теории усреднения периодических дифференциальных операторов.
Основной исполнитель Сеник Никита Николаевич, старший преподаватель СПбГУ, проводил исследования в области теории усреднения локально периодических дифференциальных операторов.
Исследованиями по теории усреднения занимались также исполнители Слоущ Владимир Анатольевич, доцент СПбГУ; Дородный Марк Александрович, инженер-исследователь Международного математического института им. Эйлера (СПбГУ); и Милослова Алена Александровна, студентка магистратуры СПбГУ.

Основной исполнитель Федотов Александр Александрович, профессор СПбГУ, вел исследования по спектральной теории почти периодических разностных операторов.
Исследованиями по спектральной теории почти периодических разностных операторов занимались также исполнители Щетка Екатерина Владимировна, аспирантка СПбГУ; и Сергеев Василий Александрович, студент магистратуры СПбГУ.

Основной исполнитель Филонов Николай Дмитриевич, ведущий научный сотрудник ПОМИ РАН, по совместительству доцент СПбГУ, проводил исследования по спектральной теории периодических дифференциальных операторов.
Исследованиями по спектральной теории периодических дифференциальных операторов занимался также исполнитель Качковский Илья Васильевич, старший преподаватель Университета штата Мичиган (США).

Transfer of the full copy of the report to third parties for non-commercial use: permitted/not permitted

разрешается

Check of the report for improper borrowing in external sources (plagiarism): permitted/not permitted

разрешается
Short title__
AcronymRSF_RG_2017 - 5
StatusFinished
Effective start/end date1/01/2131/12/21

Fingerprint

Explore the research topics touched on by this project. These labels are generated based on the underlying awards/grants. Together they form a unique fingerprint.