Методы спектральной теории и теории рассеяния в квантовой физике и теории распространения волн: 2019 г. этап 3

Project

Project Details

Description

Цель
и задачи фундаментального исследования
(указать как в заявке)




1.
Геометрия спектра оператора почти-Матье.


Оператор
почти-Матье
– одна
из главных моделей в теории
почти-периодических операторов. Это –
одномерный
разностный
оператор Шредингера
с потенциалом v(n)= cos (π(b
n +c)),
где a, b
и c
– параметры, а n - целочисленная
переменная. Для иррациональных b
его спектр
является канторовым множеством. Мы
стремимся к конструктивному описанию
спектра подобного описанию классического
канторова множества. Свойства
спектра зависят
от разложения параметра h в цепную дробь
с положительными целыми элементами.
Задача-минимум - получить ясное
конструктивное описание геометрии
спектра в случае, когда все эти элементы
достаточно велики.

2.
Адиабатическая
эволюция, порожденная одномерным
оператором Шредингера.

Рассматривается
одномерный нестационарный оператор
Шредингера на полуоси с условием Дирихле.
Потенциал принимает два постоянных
значения: отрицательное при 0<x<1-at,
где x – координата, t – время, a – малый
параметр, и нулевое
для остальных x и t. Цель состоит в
исследовании
асимптотики решений при малых а.
Соответствующий
стационарный оператор Шредингера,
зависящий от времени как от параметра,
имеет конечное число собственных
значений и
абсолютно непрерывный спектр. Задачу
делает интересным то, что со
временем число собственных значений
меняется (они
«поглощаются»
непрерывным спектром или «рождаются»
из него).

3.
Рассеяние волн на препятствиях с угловыми
и коническими точками.

Целью
исследования является развитие методов
вычисления асимптотики дальнего
рассеянного поля в задачах дифракции
волн на канонических препятствиях с
импедансными краевыми условиями
(условиями третьего рода). Будет разработан
подход для случая бесконечных препятствий
конического типа (и для задачи о колебаниях
жидкости в бесконечном бассейне с
коническим дном) и для случая рассеяния
на плоском угловом импедансном секторе.

4.
Спектральная теория и теория рассеяния
для интегральных и дифференциальных
операторов.

Основная
задача - построение спектральной теории
для различных классов операторов
Ханкеля.

5.
Преобразование Эйри и оператор Штарка.


Планируется
получить условия компактности, ядерности,
а также оценки сингулярных чисел
многомерного преобразования Эйри,
окаймленного скалярными весами. С
помощью этих
результатов
планируется исследовать оператор
Штарка, возмущенный знакоопределенным
убывающим на бесконечности потенциалом.



Key findings for the project

Результаты подробно описаны в приложенном файле
"Итоговый отчет по проекту". Краткое описание результатов:

1) Оператор почти-Матье - одна из наиболее знаменитых моделей в теории почти периодических операторов. Исследован случай, когда константа связи равна единице, а частота изображается бесконечной цепной дробью с достаточно большими элементами. При этом спектр оператора является канторовым множеством и может быть описан за счет последовательного "удаления" конечных наборов все более и более мелких лакун. Интервалы, между лакунами, найденными на очередном шаге, называются зонами. Нами описаны асимптотики центров и длин большинства зон, в примыкающих к ним лакунах вычислены значения интегрированной плотности состояний, описано распределение ее значений по лакунам. Решение задачи потребовало содержательного развития квазиклассических методов для разностных уравнений. (А.Федотов, Е.Щетка)
2) Адиабатические задачи теории распространение волн. Такие задачи встречаются в разных разделах физики - от квантовой до теории распространения классических волн (акустических, электромагнитных и т. д.). Во всех этих задачах процессы описываются дифференциальными уравнениями, в которых коэффициенты медленнозависят о одной из координат или времени. Математические методы исследования задач из разных областей очень близки. Мы исследовали две актуальные задачи о распространении акустических волн. Исследовалась плоская задача моделирующая распространение звука в узком прибрежном морском водном клине, хорошо известная в теории распространения волн и считающаяся трудной нерешенной задачей. Нам удалось построить точное решение задачи, которое вдали от «берега» локализовано в «водном клине», а около «берега» описывает излучение волн в дно. (А.Федотов) Также исследовалось распространения волн в узком плоском клине (угле) с импедансными граничными условиями (моделтрующие поглощение неровными, напр., шероховатыми границами). Получено подходящее интегральное представление для решения задачи. Исследованы асимптотики спецфункции (решение разностного уравнения), в терминах которой описывается поле. (А.Федотов, М.Лялинов)
3) Рассеяние классических волн. Исследована модельная задача о стационарных вынужденных колебаниях жидкости малой амплитуды в поле силы тяжести в бесконечном бассейне с источниками, расположенными на коническом дне с просачиванием (моделируется, например, гора на дне моря). Доказано существование и едиственность решения, получены асимптотики решения у вершины конуса и вдали от него. (М.Лялинов)
Изучено рассеяние электромагнитной поверхностной волны, возбуждаемой диполем Герца, на ребре импедансного клина, рассмотрены родственные задачи. Построена
асимптотика дальнего рассеянного поля. (М.Лялинов)
Исследована трехмерная задача рассеяния плоской акустической волны на полубесконечном секторе с краевыми условиями импедансного типа (Робэна). Получены эффективные интегральные представления для решения, выявлены его аналитические свойства, выведены асимптотики рассеянного поля вдали от вершины сектора (М.Лялинов)
4) Спектральная теория и теория рассеяния. Для полубесконечных матриц Якоби, которые можно интерпретировать как разностные аналоги гамильтониана, описывающего точечное взаимодействие двух квантовых частиц, явно описаны спектральная мера, матрица рассеяния, функция спектрального сдвига и другие важные спектральные объекты; cпектральный анализ этих матриц Якоби ведет к новому классу ортогональных полиномов, являющихся обобщением полиномов Чебышева. (Д. Яфаев)
Построена спектральная теория самосопряженных теплицевых операторов в форме удобной для построения теории рассеяния для теплицевых операторов с разрывными символами. (Д. Яфаев)
Изучены спектральные свойства операторов Неймана-Пуанкаре для трехмерной электростатической и трехмерной упругостатической задач. Найдена асимптотика собственных значений для первой, расположение существенного спектра и оценки собственных значений второй задач. ( Г.Розенблюм)
Введен и изучен класс вертикальных операторов типа Теплица в многомерных пространствах Фока, а также их обобщение – L-инвариантные операторы типа Теплица с сильно сингулярными символами. ( Г.Розенблюм)
Изучен класс операторов Теплица в пространствах типа Бергмана полианалитических функций в полуплоскости. В частности, найдена структура, аналогичная системе операторов рождения-уничтожения, приводящих оператор Теплица в пространстве полианалитических функций к оператору Теплица в стандартном пространстве Теплица, получены признаки ядерности операторов Теплица с сильно сингулярными символами и формулы следов. ( Г.Розенблюм)
5) Преобразование Эйри. Были получены оценки сингулярных чисел окаймленного преобразования Эйри, в частности, получены «универсальные» условия принадлежности окаймленного преобразования Эйри классам Лоренца, содержащимся в классе Гильберта-Шмидта. (В.Слоущ)
6) Дискретный периодический оператор Шредингера на периодическом графе, вложенном в d-мерное пространство. Изучался дискретный спектр, появляющийся в спектральных лакунах исследуемого оператора при возмущении большим потенциалом, убывающим на бесконечности. Получены оценки и асимптотики исследуемого спектра. (В.Слоущ)
7) Исследованы двояко-асимптотические траектории “быстро-медленных” систем, “медленное” многообразия которых имеет особенности. Получены условия, при которых такие системы обладают гиперболическими периодическими траекториями, инвариантные многообразия которых пересекаются трансверсально. Доказано существование хаотических многопрыжковых траекторий. Получены условия, при которых модельные системы в окрестности точки поворота конечного порядка обладают трансверсальными гетероклиническими траекториями. (А.Иванов)
Все описанные выше результаты являются новыми и актуальными, соответствуют высокому международному уровню. Для их получения использованы оригинальные методы и подходы, развиваемые авторами проекта.

Academic ownership of participants (text description)

1. Федотов Александр Александрович - исследование оператора почти-Матье, адиабатмических задач теории распространения волн; да
2. Лялинов Михаил Анатольевич - исследование адиабатических задач теории распространения волн, исследование рассеяния классических волн; да
3. Яфаев Дмитрий Рауэльевич - исследование матриц Якоби, теплицевых операторов с разрывными символами; да
4. Розенблюм Григорий Вадимович - исследование теплицевых операторов и операторов Неймана-Пуанкаре; да
5. Слоущ Владимир Анатольевич - исследование оператора Шредингера на графах и исследование преобразования Эйри; да
6. Иванов Алексей Валентинович - исследование "быстро-медленных систем"; да
7. Щетка Екатерина Владимировна - исследование оператора почти-Матье; да
AcronymRFBR_a_2017 - 3
StatusFinished
Effective start/end date22/03/1913/01/20